三次方程式の解について

質問

三次方程式　ｘ＾３-３ｘ+１＝０　の解なのですが、三次方程式の解の公式を使って考えてみても、
uが（１+√３i）/２の三乗根の一つであるというところまでは出せましたが、それ以降が分かりません。誰か解と考え方を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

KanjistX · ベストアンサー

こちらで独自に三次方程式の解の公式(カルダノの公式）を用いてuを求めてみたのですが、uは(-1+√3i)/2の三乗根ではないですか？
ちなみにu^3とv^3が共役な複素数でx=u+vが求める方程式の解になるという前提です。
まずはお確かめください。

uが(-1+√3i)/2の三乗根、vが(-1-√3i)/2の三乗根であるならば、

u^3=cos(120°+360°n) + i sin(120°+360°n)
v^3=cos(-120°-360°n) + i sin(-120°-360°n)
（ただし、nは整数）

と表すことができ、ド・モアブルの法則より

u=cos(40°+120°n) + i sin(40°+120°n)
v=cos(-40°-120°n) + i sin(-40°-120°n)

である。よって

x = u + v = 2cos(40°+120°n)

数値解としては-1.879, 0.347, 1.532と実数解が求まる。

お礼

ありがとうございました。uは（-１+√３i）/２の三乗根でした。三次方程式の解の公式がカルダノの公式というという名前が付いていたことは初めて知りました。
また分からないときはよろしくお願いします。

回答No.3

rinri503

文系ですから確証ありませんのでよろしく
　ｆ（ｘ）＝ｘ＾３－３ｘ＋１　と　ｙ＝０はグラフを書くと３実数解をもつ

　ｘ＝ｕ＋ｖとする、代入して整頓すると
　　ｕ＾３＋ｖ＾３－３（ｕ＋ｖ）（ｕｖ＋１）＋１＝０
　　したがって
　　　　　ｕ＾３＋ｖ＾３＝－１
　　　　　ｕｖ＝－１　∴（ｕｖ）＾３＝－１
　　よって　ｕ＾３，ｖ＾３は
　　　　ｔ＾２＋ｔ－１＝０の解である

　　　よって　ｕ＾３＝（－１＋√５）／２
　　　　　　　ｖ＾３＝（－１－√５）／２
　　　よって
　　　　　ｕ＝３乗根√－１＋√５）／２
　　　　　ｖ＝３乗根√－１－√５）／２
　　ｘ＝ｕ＋ｖ＝３乗根√－１＋√５）／２＋
　　　　　　　　　　３乗根√－１－√５）／２
　　他の２解は
　　　　ω＾２・３乗根√－１＋√５）／２＋
　　　　　　　　ω３乗根√－１－√５）／２
　　　と　ω３乗根√－１－√５）／２＋
　　　　　　　　　ω＾２・３乗根√－１－√５）／２

お礼

ありがとうございました。この方法で一度解いてみることにします。

回答No.1

yaksa

計算機にやらせるのではなくて、手でやるなら解の公式にたよらないで、（結局同じことですが）考えながら自力でやったほうがいいです。

x^3+u^3+u^3-3uvx = (x+u+v)(x^2+u^2+v^2-ux-vx-uv) = (x+u+v)(x+ωu+ω^2v)(x+ω^2u+ωv)
... (1)
という因数分解の公式から出発して、
この左辺と x^3-3x+1 を見比べて、
u^3+v^3 = 1
uv = 1
下の式の両辺３乗して、u^3*v^3 = 1
これから、u^3とv^3は、２次方程式
t^2-t+1=0の２解なので、
u,v={(1±√3i)/2}^(1/3)
これを(1)に代入すると、
x^3-3x+1 の因数分解ができます。
したがって、解は、
x=-(u+v)，-(ωu+ω^2v)，-(ω^2u+ωv)
です。

ふつう、 三次方程式の解の公式（カルダノの公式）というと、ここに書いたのと、u,vの符号が反対になってるものが多いと思います。

お礼

細かい回答をありがとうございました。ようやく理解することができました、また宜しくお願いします。