運動方程式について。

質問

運動方程式

(d^2x)/(dt^2)＋2B(dx/dt)＋x＝f*sinCt

がある。

これが十分時間がたったときの解を

x＝Asin(Ct＋Φ)と仮定したとき、

C＜1
C＝1
C＞1

のときそれぞれについて、どのような運動が予想されるか。

という問題があるのですが、さっぱりわかりません(；´д⊂)

さわりだけでも構いません；
わかる方いたら教えてください！
お願いします！！

回答No.1

chikin_man · ベストアンサー

既にxの解がAsin(Ct＋Φ)となっているようなので
下記(1)から(3)まで次のように考えてみては？
(1)C＜1
(2)C＝1
(3)C＞1

外力によるf*sinCtと物体の変位Asin(Ct＋Φ)を考えてみれば？
sin(+θ）とsin(－θ)では、値はプラスマイナス逆になります。

ちなみにこの運動方程式にmがないですが・・

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

chikin_man

ばねとダンパ（ダッシュポット）につながれている構造物の挙動を
表したと方程式だと思います・・
Cの値は減衰定数と呼ばれるものだと思います。
C＞1ではただ減衰するだけで振動はしません。

しかしＣ＜１では振動しながら減衰していきます。
x=Z0*exp{λt}=Z0*exp{(Z1±Z2*√(C^2ー1)}のルートが
負になり複素数となるためです。

補足

ありがとうございます！
もしよろしければ、その仮定を少し詳しく教えていただけませんでしょうか？
図々しくて申し訳ありません。。

回答No.2

Meowth

(d^2x)/(dt^2)＋2B(dx/dt)＋x＝0
の同次解は
λ^2＋２Bλ＋1＝0
B>1のとき、 ２つの実数解 ともに負
B＜-1のとき、 ２つの実数解 ともに正
-1＜B<1のとき
実部が負になるのはB>0

B=1のとき
λ＝-1(重解）
x=(t+c)e^(-t)
十分時間がたったときに、同次解が減衰するのは
B>0のとき
このとき、

x=asin(Ct)+bcos(Ct)とすれば
-bC^2+2aBC+b=0
-aC^2-2bBC+a=F
a=-(C-1)(C+1)F/(C^4+4B^2C^2-2C^2+1),
b=-2BCF/(C^4+4B^2C^2-2C^2+1)
x＝Asin(Ct＋Φ)と仮定したとき
に直せば
F/√(C^4+4B^2C^2-2C^2+1)sin(Ct＋Φ)
cosΦ=(1-C^2)/√(C^4+4B^2C^2-2C^2+1)
sinΦ=-2BC/√(C^4+4B^2C^2-2C^2+1)