- 締切済み
ロトカ・ボルテラの方程式について
被食者xと捕食者yの個体数の増減関係を表したロトカ・ボルテラの方程式 dx/dt＝(a＋b*y)x dy/dt＝(c＋d*x)y について質問です。a,d>0、b,c<0の実数です。 この連立微分方程式をFORTRANを使って数値計算によって解きました。 x,yの初期値やa,b,c,dの値によって、グラフに表した解は様々な様相を呈しました。 これは、ほんのわずかな初期条件の違いが予想もつかないほど大きく違った結果を生む現象なので、カオスと呼べる現象なのでしょうか。 初歩的な質問で申し訳ないのですが、回答よろしくお願いします。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- chiezo2005
- ベストアンサー率41% (634/1537)
関連するQ&A
- ロトカヴォルテラ方程式
xを被食者yを捕食者とし、αβγσを正の定数とすると dx / dt = αx - γxy （被食者） dy / dt = -βy + δxy （捕食者） のように表せますが、なぜ第二項目はxyのように積なのでしょうか？ (x+y)では、いけないのでしょうか？調べても仮定だからとしか書いてません。 そこを積にしなくてはいけないなにか、わかりやすい表現というか、考え方はありますか？ 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ロトカ・ヴォルテラ方程式の問題
ロトカ・ヴォルテラ方程式を dx/dt = (a-qy)x dy/dt = (-b+rx)y ※xは被食者の個体数、yは捕食者の個体数であり、共に0より大きい数とする （a,b,q,rは正定数） の2式としたときに、不動点は(x,y) = (b/r,a/q)であり、アイソクラインによってxy平面を4つに分割（不動点(b/r,a/q)を中心として4つの領域にわかれる）すると、それぞれの領域でdx/dt、dy/dtの正負が反転するというところまではわかったのですが、肝心の解の挙動を求めることができません。 xy平面で表すと、不動点を中心とした楕円軌道を描くのだと予想しているのですが、根拠がありません。 可能性としてはx=b/rとy=a/qを漸近線とした曲線が描けるような気もします。 ここはやはり2式を微分方程式として解いてしまうのがてっとり早いのでしょうか？ よろしければご教授よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 支配方程式について
以下の問題を解くことができません。解き方がわかる方、教えてくださると幸いです。 (相図については大まかなイメージを教えてくださるだけでもありがたいです。) ※問題文に不備、不明瞭な点があったら、ご指摘ください。 個体数をy(t)とすると、支配方程式は次のように与えられる。 dy/dt=(a-∫[0~t]y(t)dt)y ここで、累積個体数をx(t)とおくと、 x(t)= ∫[0~t]y(t)dt すなわち、 y(t)=dx/dt したがって、もとの方程式は、 (d/dt)*(dx/dt)=(a-x)*dx/dt=a*(dx/dt)-x(dx/dt) となるが、 (d/dt)*{(x^2)/2}=x(dx/dt) に注意すれば方程式ではtで積分できる。 dx/dt=ax-(x^2)/2+C ※Cは積分定数 初期個数値をy0とおけばx(0)=0なので、上式のC=y0と知れる。よって、 dx/dt=y0+ax-(x^2)/2 すなわち、 y=y0+ax-(x^2)/2 下記の4問が問題です。 (1) dy/dx=0を与えると、そのときのyの値を求めよ。 (2) y=0となるときのxの値を求めよ。ただし、x>0のものを選べ。 (3) 以上の情報を頼りに、横軸にx、縦軸にyをとって相図を描け。 (4)相図を解釈せよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式について
微分方程式について。 yやdy/dxの形ならば解けるのですが ちょっと変わった形になると解けずに困っております。 回答お願いします。 1 未知関数x(t),y(t)に関する微分方程式 x´(t)=y(t), y´(t)=-x(t)を 初期条件x(0)=a, y(0)=bの下で解け。 2 x=x(t)を変数tのC^∞級関数とする。 このとき、 d^2x/dt^2 +(dx/dt)^2 -4=0 を解け。 3 tの関数x(t)が次の微分方程式を満たすとする x´+x^2+a(t)x+b(t)=0 ただしx´=dx/dtである。 ・x(t)=u´(t)/u(t)のとき、関数u(t)の満たす微分方程式を求めよ。 ・微分方程式 x´=x(1-x)の一般解を求めよ。 長いですが回答お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立微分方程式の解き方
いつもお世話になっております。 xとyがともにtの関数であるとき、xとyに関する 連立微分方程式を、初期条件x(0)=1,y(0)=1に 対して解きなさい。 dx/dt=4x+y dy/dt=-2x+y という「経営数学」の問題に関して、 f(x)=(4x+y)t+C f(y)=(-2x+y)t+D (C,Dは定数とする） として、初期条件を当てはめ、解こうとしたのですが、その先が分かりません。 何か、公式等が必要なのでしょうか？ そもそも解き始めから、間違っていますでしょうか？ どのような考え方で解いていけばよいのでしょうか？ ご教授、宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の連立方程式 (mathematica)
mathematica4.1を使用して，行列で表した連立方程式を計算したいと思っています．例えば A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 B=b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 C,Dも同様に定義して A .x+B .y=1 C .x+D .y=0 x=x1 y=y1 x2 y2 x3 y3 のような連立方程式のx,yについて解きたいのですが，どのようにmathematicaで表現すればよいかが分かりません． どなたか教えてください．お願いします． 当然ではありますが，A,B,C,Dはすべて既知としています．
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の問題お願いします
微分方程式の問題お願いします インダクタンスＬ、容量Ｃ、抵抗Ｒと電源を直列に接続する この電気回路を流れる電流I(t)は次の２階微分方程式を満たすとき以下の問いに答えよ L*d^2I/dt^2+R*dI/dt+I/C=dV/dt・・・(1) （１）V(t)=Eのとき(1)の一般解を求めよ （２）Ｖ（ｔ）＝sint、 L=R=C=1とする (1)の特解を,Ｉ(t)=acost+bsintとしたとき、aとbを求めよ この微分方程式を解け （３）dy/dx=-(x^3+4x^3y^3)/(y^2+3x^4y^2) （３）しかできなくて x^4/4+x^4y^3+y^3/3=Cとなりました 残りの問題お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2次元連立斉次方程式
（見にくくてすみません） ２次元連立斉次方程式 d/dt*|x| |y| =|a b||x| |c d||y| a,b,c,dは実定数、初期値はx(0)=x_0とする。 A=|a b| |c d| の固有値は、(i)異なる2実根、(ii)重根で対角化可能、(iii)重根で対角化不可能、(iv)複数根の4通りの場合に分かれる。 (i)異なる2実根の場合。 この場合はλ_1,λ_2を固有値とすると、 expAt=(e^λ_1*t)P_1+(e^λ_2*t)P_2 となる。 したがって、解は x(t)=(e^λ_1*t)P_1*x_0+(e^λ_2*t)P_2*x_0 となる。 とあるのですが、どうして、解がx(t)=expAt*x_0になったのか分かりません。 ご教授お願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 球面の方程式の一般形
球面の方程式は、（ｘ-ａ）^2+(y-b）^2 +(Z-C)^2＝r^2を展開して整理すると x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^２-r^２＝０ ここで。-2a=A -2b＝B -2c＝C a^2+b^2+c^２-r^２＝０ とおくと x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D＝０…(1) ただし、a^2+b^2+c^２-D=A^２/4+ B^２/4 +C^２/4 -D＝r^2>0 からA^2+B^2+C^2-4D>0…(2) (2)の条件のもとで、(1)を球面の方程式の一般形とよぶことがある。 とあるのですが。 「ただし」のあとの a^2+b^2+c^２-D=A^２/4+ B^２/4 +C^２/4 -D のところがわかりません。 どことどこの式を用いてこの式が得られたのか、 つながりをおしえてほしいです よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
