ロトカ・ヴォルテラ方程式の問題

質問

ロトカ・ヴォルテラ方程式を

dx/dt = (a-qy)x
dy/dt = (-b+rx)y

※xは被食者の個体数、yは捕食者の個体数であり、共に0より大きい数とする
（a,b,q,rは正定数）

の2式としたときに、不動点は(x,y) = (b/r,a/q)であり、アイソクラインによってxy平面を4つに分割（不動点(b/r,a/q)を中心として4つの領域にわかれる）すると、それぞれの領域でdx/dt、dy/dtの正負が反転するというところまではわかったのですが、肝心の解の挙動を求めることができません。
xy平面で表すと、不動点を中心とした楕円軌道を描くのだと予想しているのですが、根拠がありません。
可能性としてはx=b/rとy=a/qを漸近線とした曲線が描けるような気もします。

ここはやはり2式を微分方程式として解いてしまうのがてっとり早いのでしょうか？

よろしければご教授よろしくお願い致します。

回答No.5

ojisan7

>肝心の解の挙動を求めることができません
軌道の式を求めることができたとしても、手元に計算機がないと軌道の様子は分かりません。解が安定かどうか、周期的かどうかを調べるには、リヤプノフ関数を見つけることができればいいんですが、そのリヤプノフ関数をどのように見つけるかが、これまた難しい問題です。
話のどこかで変数分離という言葉が出てきたようですから、試みに
L=P(x)+Q(y)
としてみてはどうですか。

回答No.4

guuman

dx・(-b+rx)/x=dy・(a-qy)/y
は辺々積分できるだろう

回答No.3

guuman

で、
xとyの関係を求めて各定数に数値を入れてグラフを書いてみたの？
予想より実際の軌道が知りたいな

補足

すいません、先ほども記述しましたが、私の力量ではxとyの関係式を導き出すことはできません。変数分離を用いても困難でした。

どうやらguuman様の回答を見てるとやはり微分方程式を解いてみないことには始まらないみたいですね。
出直してきます。

回答No.2

guuman

辺々割ってdtを消去したら変数分離法で解けるのでは？
軌道はyとxの関係が分かればいいので軌道だけは求まるのでは？
時間変化は式から解析するしかないかも知れんが
補足にどんな軌道だったか書け

補足

回答ありがとうございます。
軌道はあくまで予想でしかないのですが、xy平面の第１象限をアイソクライン（直線x=b/r,y=a/q）によって４つの領域にわけ、直線x=b/rと直線y=a/qが交わる不動点を中心とした、反時計周りの楕円軌道になるのではないかと考えています。（前のお礼で書いたベクトル（dx/dt,dy/dt）の各四領域における正負から考えて）

回答No.1

guuman

軌道だけ分かればいいのならば微分法定式を解いてみたら
a,b,q,rを色々変えて図を書けいいんじゃないの

お礼

回答ありがとうございます。
説明が足りませんでした。
微分方程式を解くのが一番てっとり早いとは思っていたのですが、肝心の解法がわからないので、微分方程式を解かないで解の挙動を調べる方法はないものかと模索しておりました。
xy平面上で(dx/dt,dy/dt)のベクトルを考えたときに、４分割した右下の領域ではベクトルが右上を向くこと、右上の領域では左上を向くこと、左上の領域では左下と向くこと、左下の領域では右下を向くことのは確かなんですが、それが直線x=b/rとy=a/qにどのように接近、接触するのかが導き出せないのです。
感覚的な解釈になってしまいますが、捕食者と被食者の関係を考えると直線x=b/rとy=a/qは漸近線には成りえないとは思うのですが、それを数学的に解釈することができません。