x→∞にしたときの式の値。

質問

たとえば、
F(x)=(x(2x^2+1)(x^2+4))/(3x^4+6x^2+a)
という式があったとき、x→∞にしたときの値を考えています。aは0<a<2なので特に関係ありません。

いつもはすべて展開して…
F(x)=(2x^5+9x^3+4x)/(3x^4+6x^2+a)
分母か分子の一番次数の高いｘで分母分子を割ります。
まず、分子の一番次数が高いx（=x^5）で分子、分母を割ると…
F(x)={2+(9/x^2)+(4/x^4)}/{(3/x)+(6/x^3)+(a/x^5)}
となり、ここでx→∞にすると2/0になるので、不定形になるので駄目だと気づく。

次に、分母の一番次数が高いx(=x^4)で分母分子を割ると、
{2x+(9/x)+(4/x^3)}/{3+(6/x^2)+(a/x^4)}
となり、x→∞にすると∞/3になるので、∞に発散すると決定してます。

いつもこのような手順で調べているのですが、いちいち展開して割って…とするのが面倒です。もっとぱっと調べられる方法はありませんか？
よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

No.1です

0に近づける場合は状況が異なりますが
既約分数にしておく必要があります．

分母が0に収束しなければ，
何も考えることはありません．
この場合は分子は気にする必要もありません

分母が0に収束する場合，
既約分数にしてあれば，
正の∞か負の∞に発散します
ただし，xが0に近づく方法に依存する場合があるので
極限が存在しないこともあります

正負の区別はx=0の近辺での値に依存します

例えば，例に挙げられている

F(x)={(x^2+1)(x^2+3)}/{x(x^2+2)}

の場合，xが0付近で極限に影響を与えるのは
分母の`x'だけです
x^2+1はほとんど1，x^2+3はほとんど3
x^2+2はほとんど3です．
したがって，xが0の付近では
(1・3)/(x・2)と同様の挙動です
ここで
xが正の値で0に近づけば，極限は正の∞，
xが負の値で0に近づけば，極限は負の∞
です．したがって，
x->0のときの極限は存在しません

x->0での極限は，
x->0のときに0に収束する「項」だけで
きまるということになります

================
蛇足：
0の場合は状況が変わると書きましたが
見方を変えれば∞に飛ばすときと同じです
ただし，∞の場合は実は半分しか考えていないことに
相当します．

x=1/tというような置き換えをすると
t->∞とt->-∞がx->0に相当するわけです
つまり，
x->0というのは正の∞と負の∞の両方を
表現できます．
無限大の場合は正負を区別して二つに
分けるのが簡単ですが
0の場合は一つのケースとして
認識してしまいがちなのが紛らわしいところです

複素数まで考えると，今度は無限大は一点になって
0と∞が対応したりしますが，
これは先のお話でしょう

＃こういうような，見方を変えると別のものが
＃一つになったり二つになったりすることを
＃いうと「矛盾してる」とかいって
＃批難する人がいたりしますけどね

回答No.3

kinuya

話しは少しずれますが，極限の計算でぜひ知っておくと良い知識にロピタルの定理というのがあります．

調べてみてください．きっと役にたつと思いますよ．

回答No.2

mercuri

こういう場合、分母の一番次数の高い文字で割ります。
分子の一番次数の高い文字で割る必要はありません。

F(x)=(x(2x^2+1)(x^2+4))/(3x^4+6x^2+a)の場合は、
分母の一番次数の高いものはx^4だから、
右辺をx^4で割ると分母は3に収束し、
分子はx(2x^2+1)(x^2+4)/x^4=(2+1/x^2)(x+4/x)となり
これは+∞に発散します。

このように計算すれば、いちいち展開しなくていいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
無限大に発散が正か負かにこだわらない場合、No1さんの方法が楽なのでそちらで考えて見たいと思います。

とりあえず発散するかどうかNo1さんの方法で調べて、発散したら正か負かを調べるため、mercuriさんの方法を使いたいと思います。

回答No.1

kabaokaba

わざわざ展開しなくても
展開後の最高次の項は
展開前のそれぞれの括弧の中の
最高次の項の積なんですから，
展開後の最高次の項はすぐ分かります

分母分子で最高次の項を求めて
次数の大きい方で割ればよいだけです

＃分子の方が次数が大きければ正か負の∞
＃分母の方が次数が大きければ0
＃一致してる場合は分子・分母の最高次の項の比

補足

回答ありがとうございます。非常によくわかりました。
追加質問になってしまいますが、
x→0にしたときの場合はどうなるのでしょうか？
たとえば、
（１）
F(x)=(2x^5+9x^3+4x)/(3x^3+6x^2+a)
の場合、x→0にすると、分子は0、分母はaが残り、0/aとなるので、答えは0

次に、
（２）
F(x)={(x^2+1)(x^2+3)}/{x(x^2+2)}
の場合、展開して、分子の最高次数のx^5で割り、x→0
にすると、∞/∞になり、不明。
分母の最高次数で割りx→0にしても∞/∞となるので不明。
分母の最低次数（x）で割ると、(3/∞)/2となり、答えは∞となることがわかります。

x→0のときもいちいち展開しないで判別する方法などあるのでしょうか？

この結果を元に考えたのが
・分子の最低次数が分母の最低次数より小さければ0
・分子の最低次数が分母の最高次数より大きければ∞
・分子と分母の最低次数が同じなら、その項の比
これであってますか？