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f(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√3ー1)は□

f(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√3ー1)は□となる。 次数下げ そのまま計算するのは面倒で芸がなさすぎる。√3ー1をαとおいて、αの満たす2次の等式を利用して「根号を解消して次数下げ」が定石である。 教えてほしいところ √3ー1をxと置いて、xの満たす2次の等式を利用して次数下げしてもいいんですか?? また、何故xではなくαと置いているんでしょうか?? 教えて下さい

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  • naniwacchi
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回答No.1

こんにちわ。 √3-1= αとおいた方が、逆にわかりやすくなると思います。 いま、欲しい(答えを得たい)値は、f(√3-1)= f(α)です。 そして、 ・f(α)= α^4+ 2α^3- 5α^2- 2α+ 5であり、 ・αは、(αの 2次式)= 0という関係を満たしている。 となります。 (αの 2次式)= 0より α^2=・・・の形に変形すれば、 「α^2という値(=(√3-1)^2)は、αの 1次式(上式の左辺)の値に等しい」 ということですから、代入すなわち次数下げをしてもいいことになります。 「x」だと「変数」という意味合いが強いので、 √3-1という「定数」であることを明示的にするためにもαと表した方がわかりよいと思います。

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その他の回答 (3)

回答No.4

>また、何故xではなくαと置いているんでしょうか?? xは一般を意味し、αは特殊(=√3-1)を表すから、と言うのが建前の話。 2次方程式での共通解を求める問題で、共通解をαとして進めた事がないか? それと同じ事。 >√3ー1をxと置いて、xの満たす2次の等式を利用して次数下げしてもいいんですか?? 従って、α=√3-1 とすれば、α^2+2α-2=0だから f(α)=α^4+2α^3-5α^2-2α+5=(α^2+2α-2)*(α^2-3)+4α-1=4α-1 となる。 α^2+2α-2=0 で割れないだろう、と疑問に思うだろうが、0であろうと、1であろうと、これは恒等的に成立する式に過ぎない。 たまたま、α^2+2α-2が0であっただけ。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

No.1 No.2 と、同じといえば同じなんですが… x=(√3)-1 でも、α=(√3)-1 でも、 解法は同一で、数学的内容は何ら変わりません。 x だと変数っぽい気がする、 α だと定数っぽい気がする…というのは、 単なる習慣の問題で、意味はありません。 ただ、そういう印象に惑わされ易い人は、 答案作成上の処世術として、α で書いておく ほうが無難ではあるでしょう。

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

本質的には #1 と同じですが, x を使うのであれば「恒等式であるべき」とはいえるでしょう. つまり, f(x) = (何らかの計算) = ax+b のように書いてしまうと恒等式でないのでダメ. 一方 α なんかでおいてやったりすると「定数を代入して計算している」という雰囲気が出るので, 同じように見えても f(α) = (何らかの計算) = aα+b は OK. 逆に言えば, 「恒等式」として処理するなら x を使ってもまったく問題ありません. つまり g(√3-1) = 0 であるような x の (2次) 式 g(x) に対し f(x) = (x の (2次) 式)×g(x) + ax+b としてから x = √3-1 を代入する (で g(√3-1) = 0 を使う) のは OK. やることは同じですけどね.

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