f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24

質問

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのｘについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。
よろしくおねがいします。

回答No.2

OKXavier · ベストアンサー

>、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
>と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。

g(x)=xf(x)+1/120　とおけるので、

（１）の結果
【１】f'(x)は単調増加
【２】f(x)はただ一つの極小値f(p)をもつ。
【３】すべてのxについて　f(x)>0
を利用して、

g'(x)=f(x)+xf'(x)　より
f(x)=g'(x)-xf'(x)>0 （【３】より）
これから、
g'(x)>xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
∴g'(x)>0
g(x)は単調増加。
g(0)=1/120>0,　　g(-1)=-11/6<0
したがって、
∃α (-1<α<0)　[　g(α)=0　]

こんな風に利用できないですか。

お礼

ありがとうございます。
ポイントはg'(x)が増加関数を示すことに合ったんですね、
そのとき、(1)をご指摘のように利用することがわかりました。
xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
の部分がよくわかりませんでした。

回答No.3

inara1

f(x) > 0 は結構難しいと思います（結果を見ると簡単に見えますが）。f ' (x) の因数分解も面倒です。
　　　f(x) = x^4 + x^3 + (1/2)*x^2 + (1/6)*x + 1/24 = x^2*( x + 1/2 )^2 + ( x/2 + 1/6 )^2 + 1/72 > 0
　　　f ' (x) = 4*x^3 + 3*x^2 + x + 1/6 = 4*( x - A )*{ ( x - B )^2 + C }
　　　　　　　A = ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 - 1/4 = -0.3808・・
　　　　　　　B = - { ( √3/18 - 1/12 )*s^2 - s/12 + 1/2 }/2 = -0.1845・・
　　　　　　　C = s^2/192 + ( √3/96 - 1/64 )*s + 1/32 = 0.0753・・ > 0
　　　　　　　s = ( 9 + 6*√3 )^(1/3) = 2.686・・
より
　　　x < A のとき f ' (x) < 0
　　　x = A のとき f ' (x) = 0
　　　x > A のとき f ' (x) > 0
したがって f (x) はただ１つの極小点 f(A) を持つ

お礼

ありがとうございます。
私は、直接fをf'でわりました。

回答No.1

nag0720

(1)はどうやって解いたんでしょうか。

(2)は、
g’(x)>0が示すことができれば、単調増加関数で実数解は１つしかないことになります。
(1)と同じ方法でできないですか？

きれいな解答じゃありませんが、
f(x)=(Ax^2+Bx+C)^2+(Dx+E)^2+F　　(F>0)
の形にするという方法もあります。

お礼

ありがとうございます。（１）については、
f'(x)は増加関数で、ｘ軸との交点が１点で、この前後で
f(x)は減少から増加する。この点つまり、極値が、０以上を
示しました。
(2)については、式の形から(1)を利用するのだと思い、
その利用の仕方をいろいろ考えてしまいました。