【問題】f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+2

質問

【問題】f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+23とする。実数αに対して, f(x)をx^2+αで割ったときのあまりを求めよ。このことを用いてf(x)を実数の範囲で因数分解せよ。

あまりを(10-2√2-2α)x-α(10-α)+23と求めたのですが…
ここからこれをどうすればいいのかわかりません＾＾；
あまりを0とおくのかと試みたのですが…

どなたか教えてください。
よろしくお願いします！

回答No.3

info22 · ベストアンサー

＞あまりを(10-2√2-2α)x-α(10-α)+23と求めたのですが…
＞ここからこれをどうすればいいのかわかりません＾＾；
＞あまりを0とおくのかと試みたのですが…
そのやり方で良いですよ。
xの係数=0とおいて、αを求めて下さい。
そのαを定数項に代入すると定数項もゼロになります。

そうすると、そのαに対して、
f(x)は(x^2＋α)で割れますので、商をQ(x)の式にαを代入すれば
f(x)=Q(x)(x^2+α)
の形に因数分解できたことになります。
Q(x)は2次式ですから、2次方程式の判別式Dで調べると分かると思いますが
D<0になるので実数の範囲では因数分解できないでしょう。

お礼

ありがとうございました！！！

回答No.5

alice_38

余りを g(x) = (10-2√2-2α) x -α(10-α)+23 と書くとして、
「 0とおく 」の意味が、
任意の x について g(x) = 0 となるような定数 α を求める
…というつもりであれば、それで ok です。

何たる幸運か、そのような α が存在していることは、
因数分解を進めて g(x) = -2(α-5+√2)x + (α^2-10α+23)
= -2(α-5+√2)x + (α-5-√2)(α-5+√2)
= (-2x+α-5-√2)(α-5+√2)
と変形してみれば判ります。

余りが 0 になったということは、
f(x) が x^2+α で割り切れたということですね。
因数分解とは、つまり、f(x) を割り切る式を見つけたいのでした。

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

naniwacchi

こんばんわ＾＾

その方針でいいですよ。
「因数分解」が目的であることを考えれば、あまりを 0とおいてしまいましょう。
xの恒等式として考えれば、αが求まりますね。
（定数項も計算してみてください＾＾）

x^2+αが 2次式になっているので、素直に筆算で計算すれば商が求まります。
あまり？計算する必要ないですよね。

もっと自信をもっていきましょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

gohtraw

もう少しヒントを。
もしｆ（ｘ）がｘ＾２＋αを因数として持つのであれば、ｆ（ｘ）をｘ＾２＋αで割った余りはｘの値によらずゼロになります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

>あまりを0とおくのかと試みたのですが…

それでいいんじゃね？

お礼

ありがとうございました。