三次方程式の問題

質問

三次方程式x^3-(a^2-1)x-a=0において、実数である会はただ一つであるような実数aの範囲を定めよ。ただし重解は一つと数える。[A.-2<a<2]

という問題です。
どうやって解けばよいのでしょうか？
因数分解かなと思ったのですが、できないし、全然わかりません。

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

susumutft · ベストアンサー

x=aとすると、（左辺）＝０となるので、左辺の式は
(xーa)で因数分解できることがわかります。

そのあとは、No.1さんみたいにやっていったらいいのだけど、
三重解の可能性も吟味しておく必要があります。
(x-a)(x^2+ax-1)＝(x-a)^3のときだけど、
これを満たす実数aは存在しない。

これでよろしいのでは？

お礼

＞x=aとすると、（左辺）＝０となるので、
これにきがつきませんでした。
どうもありがとうございました。

回答No.7

maruru01

No.4とNo.6さんへ。
私の勘違いでした。
三重解はダメと質問を読み違えてました。
三重解もOKなんですよね。
失礼しました。
あと、余計なことでたくさん回答して、質問者さんにも申し訳なかったです。

補足

Ｎ02さんのように吟味すればよいわけですね。
皆さまありがとうございました。

回答No.6

TK0318

別個に吟味する必要があります。
(x-a)(x^2+ax-1)がただ１つの実数解を持つ条件はx=aは確実なので
x^2+ax-1がx=a（重解）もしくは虚数
ですので＃４の方の回答にあるように別個に３重解（Ｄ＝０かつx=aの場合）を調べないといけません。

回答No.5

maruru01

No.4さんへ。
二次方程式において、
「判別式 < 0」と、「2つの異なった虚数解を持つ」は互いに必要十分条件なので、
判別式 < 0
を満たす場合は、「絶対に重解（三重解）ではない」のではないですか。
（と主張していながら、自信はあまりないんですけどね。）

補足

この議論は全然わからないっす(^^；

回答No.4

ranx

私も横レス。
> 判別式 < 0（虚数解）
> を条件としていることの中に、三重解でないことは含まれている
はNo.3さんに同意。
しかし、だからこそ三重解の場合は別個に吟味すべきだと思います。

回答No.3

maruru01

こんにちは。maruru01です。

まったくの横レスですが。
No.2さんへ。
三重解となる場合は必ず実数解だから、No.1の人の方法で、
判別式 < 0（虚数解）
を条件としていることの中に、三重解でないことは含まれていると思いますが。
（つまり、わざわざ吟味する必要はない。）

回答No.1

ta-nuki

x^3-(a^2-1)x-a=(x-a)(x^2+ax-1)なので、
x^2+ax-1-0が虚数解であればよい。
x^2+ax-1の判別式は a^2+4なので、
a^2+4<0が必要十分条件。
よって、-2<a<2の範囲です。

お礼

因数分解に気が付きませんでした。
すごくわかりやすいです。
ありがとうございました。