３次方程式においてaを求めるとき・・・

質問

X^3-(2a-1)X^2-2(a-1)X＋2=0が異なる３つの実数解をもつとき、実数aの値の範囲を求めよ。

という問題がわかりません。
(１)の問題でこれの因数分解せよ、というのがあってそれを使ってとヒントがでているのですが、どこで使えばいいのかわかりません。

ちなみに因数分解は、X=(X＋1)(X^2-2aX＋2)になりました。

最初に何をしたらいいのか教えてください。

回答No.1

graduate_student · ベストアンサー

因数分解した結果,
Y=(X＋1)(X^2-2aX＋2)になったんですね．
「異なる3つの実数解を持つ」→「Y=0となる3つの異なるXが存在する」というのはわかりますか？
Y=0となるXの1つはX=-1ですね．（←因数分解の結果）
ということは,X^2-2aX＋2＝0となるXが2つ存在すればいいですね．
ただし,X=-1とは異なるXの値ですよ．
「X^2-2aX＋2＝0となるXが2つ存在する」というのは「判別式」でなんとかなるはずです．

補足

X^2-2aX＋2=0で判別式を使って解いてみましたが、aの範囲はどうやったらでるんでしょうか？

回答No.11

wayne_g

左辺を因数分解すると　(x+1)(x^2-2ax+2)=0
x=-1(この解は確定）,x^2-2ax+2=0…(1)
(1)がx=-1を除く異なる２つの実数解をもつ場合を考える
まず(1)が異なる実数解をもつことだけを考えて
(1)の判別式をDとすると　D>0
ということから判別式の不等式を解くと　a<-√2,√2<a…(2)
次に(1)がx=-1を解にもつときのaを考えると　a=-3/2…(3)
となるから(2)から(3)を除くと

でお分かりでしょうか

お礼

みなさん、回答ありがとうございました。
最初の計算があってなくて、それで意味がわからなかったんです。間違いに気づけばよかったのですが、
そのときは気づかなくて・・・
ポイントは最初からずっと教えていただいていた方に
発行することにします。
ありがとうございました。

回答No.10

noname#8027

何か大混乱になっていますね。

>最初の判別式は、a<-2とa>2ですよね？

これが、間違っていて、
a<-√2, a>√2
だという事は気づきましたか？

>そのあと説明がわからないんです・・

上記の範囲と、

>答えがa<-3/2,-3/2<a<-√2、√2＜a
の答えとでは、範囲から-3/2だけをのぞいたものだということは、理解できましたか？

この２点がわかれば、他の方の解答を参考に理解できると思います。

回答No.9

mark-wada

(すいません、「」の中、異なる三つの実数解と書いてあるのは、すべて
「-1,m,m」と書いてしまいましたが、もちろん、
「-1,m,n」が正しいです。書き直します。)

3次方程式が異なる三つの実数解を持つには・・・。

この3次方程式は、間違いなくX=-1という解を持っています。
それ以外に、X^2-2aX＋2=0　の解であっても良い訳ですよね？この「2次方程式」の解をm,nとしましょう。

２次方程式の判別式Dから、考えられる可能性は3つ。
1　D<0 実数解を持たない　→　3次方程式の解は「-1」一つだけ、だからこれではまずい。
2　D=0 重解。実数解一つ。m=n →　3次方程式の解は、「-1,m」の二つ。もしm=-1だと、一つになっちゃうけど、まあどのみち三つにならないから、これもダメ。
3　D>0 異なる二つの実数解。　→　3次方程式の解は「-1,m,n」の三つ。

だから、3の場合が正解だ！D>0の条件は、
a<-√2,a>√2
これで解答！と喜びたいんだけれども、ちょっと待って。
もし、m=-1あるいは、n=-1だったら、　
「-1,m,n」は、「異なる三つの実数解」ではなく、「異なる二つの実数解」になってしまいます。
そこで、
X^2-2aX＋2=0　の解が-1になる場合を除かねばなりません。そこで、
2次方程式の解の公式=-1
と置いて計算すると、a=「何々」と出ます。

a<-√2,a>√2
であって、かつ
a=「何々」ではない場合、とすると、・・・そうなります。

回答No.8

mark-wada

（回答のNo.3,4,5は同じ方ですね、失礼しました（汗））
3次方程式が異なる三つの実数解を持つには・・・。

この3次方程式は、間違いなくX=-1という解を持っています。
それ以外に、X^2-2aX＋2=0　の解であっても良い訳ですよね？この「2次方程式」の解をm,nとしましょう。

２次方程式の判別式Dから、考えられる可能性は3つ。
1　D<0 実数解を持たない　→　3次方程式の解は「-1」一つだけ、だからこれではまずい。
2　D=0 重解。実数解一つ。m=n →　3次方程式の解は、「-1,m」の二つ。もしm=-1だと、一つになっちゃうけど、まあどのみち三つにならないから、これもダメ。
3　D>0 異なる二つの実数解。　→　3次方程式の解は「-1,m,m」の三つ。

だから、3の場合が正解だ！D>0の条件は、
a<-√2,a>√2
これで解答！と喜びたいんだけれども、ちょっと待って。
もし、m=-1あるいは、n=-1だったら、　
「-1,m,m」は、「異なる三つの実数解」ではなく、「異なる二つの実数解」になってしまいます。
そこで、
X^2-2aX＋2=0　の解が-1になる場合を除かねばなりません。そこで、
2次方程式の解の公式=-1
と置いて計算すると、a=「何々」と出ます。

a<-√2,a>√2
であって、かつ
a=「何々」ではない場合、とすると、・・・そうなります。

回答No.7

graduate_student

ほかの2つについても同じです．
グラフ描いてみましたか？
(2)は-1を代入すると,3a+2<0
(3)は-1を代入すると,3a+2>0ですが,軸条件によりa>-1です．

回答No.6

mark-wada

No.3の方の解法がわかりやすいと思うのですが。私もそのやり方で解きました。
判別式から、
a<-「いくらか」,a>「いくらか」　
となるのは、分かりますね？（あえて数字は伏せます）

これで、この3次方程式が、－1と、それ以外に二つ
X^2-2aX＋2=0の解を持つ事になります。
この「それ以外に二つ」の解をNo.4さんのおっしゃる
m,ｎとします。
ところが、もし、m,ｎのどちらかが、-1になってしまったら、「異なる３つの実数解」という条件を満たしません。

そこで、X^2-2aX＋2=0の解が、-1になる場合を除かねばなりません。
解の公式で出る答=-1
と置いてやって、aを計算すると、a=「何々」と出ます。（またも数字は伏せます）

a<-「いくらか」,a>「いくらか」
でかつ、
a=「何々」　の場合を除く、としたら、
その模範回答のようになりませんか？

補足

最初の判別式は、a<-2とa>2ですよね？
そのあと説明がわからないんです・・

回答No.5

graduate_student

では,(1)2つの解が-1より小さいときについてのみ説明します．
グラフを描いてください．
まず,2次関数の軸aは-1より小さいので,a<-1が得られます．
y=X^2-2aX＋2のxに-1を代入すると,グラフより,
1+2a+2=3a+2となり,
これが3a+2>0となるのが目に見えてわかると思います．
これらより,aの範囲を決定しましょう．

補足

(１)はわかりました。
他の二つについてもx=-1を代入するんでしょうか？
何度もすみません。

回答No.4

graduate_student

では方針を変えましょう．
y=X^2-2aX＋2と置いて,平方完成してください．
y=(x-a)^2-a^2+2となるますね．
ここで,解が2つ存在しなければならないので,この関数の頂点のy座標の-a^2+2は必ず0未満,つまり-a^2+2<0となります．

次に,y=(x-a)^2-a^2+2の2つの解(ここで2つの解をmとｎと置きます)が
(1)-1より小さいとき
(2)-1をまたぐとき
(3)-1より大きいとき
に場合わけしてそれぞれでaを求めてみてください．

ただし,aの大前提は-a^2+2<0のときです．
問題を解く際,必ずグラフを描きましょう．

補足

-a^2+2＜0というのはわかりましたが、場合わけがわかりません・・・

回答No.3

graduate_student

判別式＝4a^2-8>0
上のようになりましたか？
aについて解けばaの範囲は求まりますね．

ただし,残りの２次式がＸ＝－１という解を取る場合は除外して考える必要がありますけどね．

補足

判別式はそうなるのですが、答えがa<-3/2,-3/2<a<-√2、√2＜aとなるのがわかりません・・・

回答No.2

sta_vanilla

こんばんは。初めて回答してみます。

因数分解からも分かるように、Ｘ＝－１という実数解を持つことはお分かりですよね？
そうなると残りの２次式が異なる２つの実数解を持てばいいわけですから
２次方程式の判別式を用いてでａの取る範囲を調べることになります。
但し「異なる３つの実数解」という条件がありますから
残りの２次式がＸ＝－１という解を取る場合は除外して考える必要があります。

方針だけ示したけどこんな具合でいいのかな？