x^4－7x^2＋9を因数分解する問題なのですが、

質問

x^4－7x^2＋9を因数分解する問題なのですが、
わかる方いますか?

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(x^4-6x^2+9)-x^2
あとは、流れで。

回答No.6

alice_44

No.3 の No.2 との違いは、
有理係数の範囲で、二次式の積に
因数分解できる ことを示した点にあります。

実係数の範囲で一次式まで分解すれば、
No.4 にあるように、両者は同じです。

回答No.5

info22_

#2です。

A#2の補足の質問について
>回答1と3の方と答えが違うのはなぜなのでしょうか?
回答2と回答3　ですね。
>回答自体はどちらも納得できるのですが、
>答えが2つあるのが納得できません。
両者の違いは、既にA#3で答えてみえますが
単に2重根号を外してあるか、外してないかの問題です。
結果はどちらでも合っています。

>どちらも正解なのでしょうか?
どちらも正解です。

高校数学では通常2重根号が外せる場合は外しておいた方がいいでしょう。
もっとも有理数の係数の範囲では因数分解そのものができませんね。

2重根号を外せば
>x^4-7x^2+9=(x^2-(7+√13)/2)(x^2-(7-√13)/2)
>=(x+√{(7+√13)/2})(x-√{(7+√13)/2})(x+√{(7-√13)/2})(x-√{(7-√13)/2})
={x+(1+√13)/2}{x-(1+√13)/2}{x+(1-√13)/2}{x-(1-√13)/2}
となり、よく比較すれば括弧の順が異なりますがA#3と同じですね。

回答No.4

anisakis

形が違うだけで同じ答えではないでしょうか
二重根号
√(a+b+2√(ab))
=√a+√b

1つの解を例にだしますが
√(7/2+√(13)/2)
=√(1/4+13/4)+2√((1/4)*(13/4))
√(1/4)+√(13/4)
=1/2+√13/2

他の解にも同じことがいえるとおもいます

回答No.3

alice_44

整数係数の範囲で、二次式の積までは行けるから。

x^4 - 7x^2 + 9
= (x^4 - 6x^2 + 9) - x^2
= (x^2 - 3)^2 - x^2
= (x^2 - 3 + x)(x^2 - 3 - x)

一次因子まで行きたければ、解公式を使って、

= (x^2 + x - 3)(x^2 -x - 3)
= { x - (-1+√13)/2 }{ x - (-1-√13)/2 }{ x - (1+√13)/2 }{ x - (1-√13)/2 }

回答No.2

info22_

X=x^2とみなして2次方程式の解の公式を利用すれば
X^2-7X+9=0
X=(7±√13)/2
なので
x^4-7x^2+9=(x^2-(7+√13)/2)(x^2-(7-√13)/2)
=(x-√{(7+√13)/2})(x-√{(7+√13)/2})(x+√{(7-√13)/2})(x-√{(7-√13)/2})
となります。

普通の整数や有理数だけを使っての因数分解は出来ません。

お礼

ありがとうございます。
回答1と3の方と答えが違うのはなぜなのでしょうか?
回答自体はどちらも納得できるのですが、
答えが2つあるのが納得できません。
どちらも正解なのでしょうか?