因数分解の問題

質問

(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)+35を因数分解せよ。という問題なんですかどう解いたら良いか分かりません。解説お願いします！

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

因数定理を考えて、あるｘ値で与式がゼロになるケースを考えます。
つまり、(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)　が　－３５　になるということです。
大概、整数しか登場しませんので、
４つの整数をかけて　－３５　になるということは、
３５を素因数分解すると　５×７　ですから、
－１×１×５×７　が考えられます。
すると、
－１、１、５、７　は、それぞれ数字どうしの差からして
(x-3)、(x-1)、(x+3)、(x+5)　と見事に当てはまります。
与式に　ｘ＝２　を代入するとゼロになります。
それは、つまり、与式が　ｘ－２　で割り切れること（　（ｘ－２）でくくれること）を意味します。

さらには、
－７、－５、－１、１　も掛け算すると　－３５　になります。
これも、(x-3)、(x-1)、(x+3)、(x+5)　と見事に当てはまります。
ですから与式に　ｘ＝－４　を代入しても
それは、つまり、与式が　ｘ＋４　でも割り切れること（　（ｘ＋４）でくくれること）を意味します。

以上で、２つの共通因数がわかりましたので、それを端緒にすれば解けるはずです。

お礼

ありがとうございます！
しかし何故＋35が-35になったのか分かりません(´д｀;)理解力がなくて申し訳ないです…

回答No.4

sanori

＞＞＞ありがとうございます！
＞＞＞しかし何故＋35が-35になったのか分かりません(´д｀;)理解力がなくて申し訳ないです…

与式　＝　(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)+35
ですよね。

(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)　＝　－３５
になったら、与式＝０　になりますよね。

与式＝０　になるｘ値をａと置いたとき、
与式は　ｘ－ａ　で割り切れるんです。（　（ｘ－ａ）でくくって因数分解できるんです。）

お礼

なるほど！ご丁寧にありがとうございました(^^)

回答No.2

noname#229595

(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)+35
=(x-3)(x-1)×(x+3)(x+5)+35
=x^2-4x+3×x^2+8x+15+35
「-4x+3」をＡ「8x+15」をＢとして
=(x^2+A)×(x^2+B)
=x^4+Bx^2+Ax^2+AB+35
Ａ，Ｂを元に戻して、
=x^4+(8x+15)x^2+(-4x+3)x^2+(-4x+3)(8x+15)+35
=x^4+8x^3+15x^2-4x^3+3x^2-32x^2-60x+24x+45+35
同類項をまとめて、
=x^4+4x^3-14x^2-36x+80
でしょうか。
自信はないです。
ＡやＢに置き換えて、因数分解できるように形を変えるのがポイントでしょうか。
（ｘ＾2は「ｘの２乗」）ということで使っています。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

y_japan

全く同じ問題の解法がネットにありました。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1161250346

お礼

ありがとうございます！