数学の因数分解の問題がわかりません

質問

（x－１）（x－３）（x－５）（x－７）+１５を因数分解せよという問題なのですが、４次式の因数分解の簡単なやり方を教えてください。

回答No.4

noname#208901 · ベストアンサー

数学の一般的な思考方法として、規則性を見つけることが大切です。

また、大体の問題はパターンを知っていれば解ける問題が多いので、

練習量がものをいうといっても過言ではありません。

すると、数字が変わっただけで考え方が同じだ。と言えるようになります。

まず、上の問題は、（ｘ－１）と（ｘ－７）　（ｘ－３）と（ｘ－５）に分けて考えます。

なぜかというと、数字の組み合わせに注目して、

１と７を足すと、８　３と5を足すと８になるからです。

というのは、(x-a)(x-b)=ｘ2-(a+b)x+abとなり、この真ん中の数字が両方

8となってそろうからです。

(x-1)(x-7)=ｘ2－８ｘ＋７
(x-3)(x-5)=x2ー８x+15

７と15の数字が違うけど、大事なのはその前のx2-8x

これを便宜上　ｔ　とおきましょう。

（これは余談ですが、高次の数式や長い数式を展開するときなど、
同じものは上記のように、別の一つの文字で置き換えないと、
計算ミスの可能性が飛躍的にアップします。

くどいですが、厳密にいえば、t以外でもアルファべっト
はなんでもいいです。

すると、t+7 t+15 と簡単な数字で表すことができます。

これをお互い掛け合わせるのですから、

t2+22t+105

となり、+15 を足すとt2+22t+120 ですね？

そして今度はこれを因数分解します。ここからは

おわかりでしょうが、

因数分解せよ、とは、（x+a)(x+b)の形に戻せ。（あるいは

可能な限り共通の項をまとめなさい。）ということですから、

これも同じようにします。

その時はやはり真ん中の数字に注目します。

22ですね？　これは、1＋２1　２＋20　３＋19・・・

となる組み合わせで出てくる数字です。

次にこれを踏まえて、120という数字にも注目します。

120は、上の組み合わせのどれから出てくる数字かを

考えます。

注意すべきは公式をよく見ること。真中は足し算。

後ろは掛け算です。

すると、１2+10 12x10の組み合わせが考えられるので、

(t+12)(t+10)と因数分解できます。

（すぐに組み合わせを見つける方法としては、

たすき掛けを使ったりすることや、大体これくらいの数字だろうな、と

あたりをつけられるようになることが大事です。）

最後にtを元の数字に戻します。

t=x2-8xとおいていましたから、

(x2-8x+12)(x2-8x+10)

さらに中身を因数分解します。

(x-2)(x-6)(x2-8x+10)ですかね、

右のやつは足し算掛け算が一致する

数字が見つからないのでそのままです。

ｔを元に戻して終わり、と安心することが

たまにあるのが怖いところです。

（x+a)(x+b)などのように、ｘ＋一つの文字。

となるまで因数分解できないか、

疑うことが必要だと思います。

ここまで読んでいただきありがとうございました。

長くなって申し訳ありませんでした。

回答No.3

noname#125931

t=x-4と書くと、
与式=(t+3)(t-3)(t+1)(t-1)+15=(t^2-9)(t^2-1)+15。
s=t^2とすると、
(t^2-9)(t^2-1)+15=(s-9)(s-1)+15=s^2-10s+24=(s-6)(s-4)
=(t^2-6)(t^2-4)=((x-4)^2-6)((x-4)^2-4)=(x^2-8x+10)(x^2-8x+12)
=(x^2-8x+10)(x-6)(x-2)。

回答No.2

Butz

こんばんわ★

長い事やってなくてもうあやふやですが・・・・
この手の問題は
(ｘ－１)(ｘ－７)、(ｘ－３)(ｘ－５)をそれぞれ計算して、
共通のｘ^2－８＝Ａみたいに置いて最後にそれを戻すような因数分解だったような・・・・

間違っていたらすいませんｍ(＿＿)ｍ

回答No.1

gohtraw

（ｘ－１）（ｘ－７）＝ｘ＾２－８ｘ＋７　であり、
（ｘ－３）（ｘ－５）＝ｘ＾２－８ｘ＋１５　なので与式は
（ｘ＾２－８ｘ＋７）（ｘ＾２－８ｘ＋１５）＋１５　です。
ここでｘ＾２－８ｘ＋１１＝Ｘ　とおくと与式は
（Ｘ－４）（Ｘ＋４）＋１５＝Ｘ＾２－１６＋１５
　　　　　　　　　　　　　＝Ｘ＾２－１
　　　　　　　　　　　　　＝（Ｘ＋１）（Ｘ－１）
　　　　　　　　　　　　　＝（ｘ＾２－８ｘ＋１２）（ｘ＾２－８ｘ＋１０）
　　　　　　　　　　　　　＝（ｘ－２）（ｘ－６）（ｘ＾２－８ｘ＋１０）