あってますか？？

質問

d^2y/dx^2-dy/dx-6y=0,y(0)=1,y`(0)=0のとき、dy/dx=zとおくと、dz/dx=z+6yになる。ｙを求めよ。っていう問題で、
d/dx=Dっておいて(D^2-D-6)y=0 だから(D-3)(D+2)y=0
よって（D-3)y=0または（D+2)ｙ=0
(D-3)y=0はdy/dx-3y=0でdy/dx=3y
だからdy/y=3dx
両辺積分すると、logy=3x+C (Cは積分定数）
y=e^(3x+C)
M=e^Cとおくと
y=Me^3x
同様にy=Ne^(-2x)
あわせて、ｙ＝Me^3x+Ne^(-2x)
y(0)=1,y`(0)=0より
M=2/5,N=3/5
よってy=2/5e^3x+3/5e^(-2x)
あってますか？？
変なところあったら教えてください＞＜
問題文の方法使ってないような気がするんですけど
だめなんでしょうか？？
連立微分方程式を使うやり方がわかる人は
教えてください！！！

回答No.2

takamm

d^2y/dx^2-dy/dx-6y=0を変形して、
　　d/dx(dy/dx+αy)=β(dy/dx+αy)
となるとします。これを展開すると、
　　d^2y/dx^2+d(α-β)y/dx-αβy=0
これより、問題の式と各項の係数を比較して、
　　α-β=-1
　　-αβ=-6
これを解いて、(α,β)=(2,3),(-3,-2)
(i) (α,β)=(2,3)のとき、
　　d/dx(dy/dx+2y)=3(dy/dx+2y)
ここで、dy/dx+2y=zとおきます
　　dz/dx=3z
　　z=Ae^(3x)
これより、
　　dy/dx+2y=Ae^(3x)
x=0のとき、y(0)=1,y'(0)=0だから、それぞれを代入して、A=2が得られる。よって、
　　dy/dx+2y=2e^(3x) ―(*)
(ii)(α,β)=(-3,-2)のとき、(i)と同様にして、
　　dy/dx-3y=-3e^(-2x)　　―(**)
(i),(ii)より、得られた2式より、
　　y=(2/5)e^(3x)+(3/5)e^(-2x) (∵(*)-(**))

一応、微分方程式を連立で解いてますが、どうでしょうか？なぜ、dy/dx=zと置きたいのかは分かりませんが、上のようにおけば、解きやすいかと思います。dy/dx=zというのは、問題文に含まれていたのでしょうか？まず、そこが正しいか確認したほうがよいかと思います。dy/dx=zとおいて、解けないといってるわけではないのですが、自分としてはdy/dx=zとおいても解き方は思いつかないです。

回答No.1

Tacosan

「連立微分方程式を使う方法」が何を指しているかはしりませんが, 例えば
dy/dx = z
dz/dx = z+6y
を行列で書くと
(d/dx) (y, z) = ((0, 1), (6, 1)) (y, z)
の形になる (ベクトル, 行列の形は雰囲気で察してください) から右辺の行列を A とおくと (y, z) = e^(Ax) (y(0), z(0)) とできるんですが.... いいのかなぁ, これで.