standard eigenvalue problem for a symmetric matrix

質問

現在ある固有値問題に直面して困っています。
その問題はフォトニック結晶のバンド計算を行う時にでてくる式で、

　∞ 　　 ∞
　Σ　　 　Σ　　B(n-n',m-m')A(n',m')=λA(n,m)
n'=-∞ m'=-∞

というものです。和を有限の値で打ち切って数値計算で固有値を求めるというものです。
A、Bは共にある二次元フーリエ級数の係数になっており、A(n,m)=A(-n,-m)と実負で対称になっています。
なおBは既知の値です。
これは基本的な対称行列の固有値問題になっているらしいのですが、私にはよくわかりません。

どなたかこの式を数値計算で解く手引きをご教授ください。お願いします。

回答No.1

msndance · ベストアンサー

n,mがどこから出てきているのでしょうか。
おそらく、逆格子ベクトルから来ているとおもうのですが。
補足していただけないでしょうか。

実はわたしも、A,Bがスカラーであるにもかかわらず、
なぜ「対称行列」なんて言葉がでてくるのか疑問に思ったことがあります。

n,mがよくわからなくてなんともいえないけど、
BとAの左辺の積をなんらかのベクトルの内席の形で表わし,
あらゆるAについて同じ式を何個か書き下すと
有限個の連立方程式になって、それが固有値問題、、というあらすじに
なるはずです。

質問に書いてある式をもう少し工夫して,はじめて固有値問題になることは
間違いありません。
おそらくAは、波数ベクトルと逆格子ベクトルに依存すると思うのですが。
補足ねがいます。

あと実は、僕の方でもPB計算について疑問があって、教えてGOOで
質問をしています。asamakenさんも同じことをやっていると思うので,
どうか僕の質問にも目を向けていただけないでしょうか。
お互い頑張りましょう。よろしくお願いします！！

補足

ご回答ありがとうございます。
僕が今フォトニックバンド計算をするために参考にしているのは、平面波展開法のM.Plihal、A.A.Maradudinの論文です。
今回の質問ではかなり簡略して書きましたが、実際の式は、磁場と誘電率のフーリエ展開

1/ε = Σ　κ(G)exp(iG・r)
　　　 G
　Hz = Σ　A(G)exp(i(k+G)・r)
　　　 G

をHに関するマスター方程式に代入して、

　Σ　(k+G)・(K+G')κ(G-G')A(G')=(ω^2/c^2)A(G)
　G'

を得ます。k、Gはそれぞれ波数ベクトルと逆格子ベクトルです。
今考えているのは二次元正方格子の場合ですので、

r=(x,y)
k=(k1,k2)
G=(G1,G2) G1=(2π/a)n、 G2=(2π/a)m
G'=(G1',G2') G1'=(2π/a)n'、 G2'=(2π/a)m'

としています。
いろいろ書き出したりしているのですが、なにぶん複雑でなかなか思うようにいきません。msndanceさんはどのような方法で計算しているのですか？もし同じ方法でしたら、厚かましいようですが教えていただけたらと思います。

msndanceさんの質問は以前から見ていましたが、残念ながらまだまだ勉強不足ですのでわかりません。
固体物理やJ D.Joannopoulosさんの本などを読んで勉強しているのですがまだまだです。