微分方程式の級数解の計算方法
- 微分方程式の級数解の計算方法について説明します。
- 奇数の場合と偶数の場合で分けて計算方法を説明します。
- 計算手順に従って級数解を求めることで、問題を解くことができます。
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a[0] = a[2m+1] = 0 ?
微分方程式の級数解の計算の途中から書きます： c=1のとき、 (c+1) * c * a[1] = 0 (1+1) * (1) * a[1] = 0 2 * a[1] = 0 a[1] = 0 (c+n+2)(c+n+1) * a[n+2] - a[n] = 0 (1+n+2)(1+n+1) * a[n+2] - a[n] = 0 (n+3)(n+2) * a[n+2] - a[n] = 0 (n+3)(n+2) * a[n+2] = a[n] a[n+2] = 1/(n+3)(n+2) * a[n] となる。すなわち、nが偶数2m(m=1,2,3,...)の場合、 a[n+2] = 1/(n+3)(n+2) * a[n] a[2m+2] = 1/(2m+3)(2m+2) * a[n] ：（略） a[n] = a[2m] = 1/(2m+1)! * a[0] となる。 また、nが奇数2m+1(m=1,2,3,...)の場合、 a[n] = a[2m+1] = 0 ←これが何故0になるのか分かりません となる。 ・・・と書いてあります。自分でやってみますと、 また、nが奇数2m+1(m=0,1,2,...)の場合、 ←まずは(m=0,1,2,...)から始めます a[n+2] = 1/(n+3)(n+2) * a[n] a[ (2m+1)+2 ] = 1/{ (2m+1)+3 }{ (2m+1)+2 } * a[2m+1] a[ (2m+2)+1 ] = 1/{ 2m+4 }{ (2m+2)+1 } * a[2m+2+1-2] a[ 2(m+1)+1 ] = 1/{ 2(m+2) }{ 2(m+1)+1 } * a[2(m+1)-1] ←まだ(m=0,1,2,...)です m=1を基準とすると a[ 2m+1 ] = 1/{ 2(m+1) }{ 2m+1 } * a[ 2m-1 ] ←これ以降は(m=1,2,3,...)です a[ 2m-1 ] = 1/[ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * a[ 2(m-1)-1 ] a[ 2(m-1)-1 ] = 1/[ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * a[ 2(m-1)-1 ] ： ： m=2: a[ 2(2)+1 ] = 1/[ 2{(2)+1} ]{ 2(2)+1 } * a[ 2(2)-1 ] a[ 4+1 ] = 1/[ 2{3} ]{ 4+1 } * a[ 4-1 ] a[ 5 ] = 1/{ 6 * 5 } * a[ 3 ] m=1: a[ 2(1)+1 ] = 1/[ 2{(1)+1} ]{ 2(1)+1 } * a[ 2(1)-1 ] a[ 2+1 ] = 1/[ 2{2} ]{ 3 } * a[ 2-1 ] a[ 3 ] = 1/{ 4 * 3 } * a[ 1 ] a[n] = a[2m+1] = 1/{ 2(m+1)(2m+1) * [ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * ... * 4・3} * a[1] ・・・となって、a[n] = a[2m+1] = 0にはなりません。 どこかで間違えていますでしょうか？ もしそうであれば、どうか解き方を教えてください。お願いします。
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a[1]=0 と自分で言っているようだが...
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あははは、あんなに面倒くさい計算したのに a[n] = a[2m+1] = 1/{ 2(m+1)(2m+1) * [ 2{(m-1)+1} ]{ 2(m-1)+1 } * ... * 4・3} * 0 = 0 ・・・というオチだったんですね(爆笑) 計算自体は一応合ってそうなのでよかったです。 これからは短期記憶能力の方を鍛えないとですね。(^^ゞ ありがとうございました！