数学Aの問題です。よろしくおねがいします。

質問

数学Aの問題です。よろしくおねがいします。
(a+3b)^nの係数を、上から順にn=1,2,3,4,5,…の場合について、
三角形状に並べると、添付した図のようになる。
この図に次の３数が並んでいた。
　　324 2268 10206
これらは何段目に並んでいる数であり、324は何番の数であるか。
つまり、324が(a+3b)^nの展開式のnＣr a^n-r (3b)^rの項の係数を計算したものであるとするとき、
nとr+1を求めよ。
参考
324=2^2×3^4,2268=2^2×3^4×7,10206=2×3^6×7

回答No.1

Hyokko_Lin · ベストアンサー

nCr=n!/{r!*(n-r)!}なので、
nC(r+1)/nCr=[n!/{(r+1)!*(n-r-1)!}/[n!/{r!*(n-r)!}]
=(n-r)/(r+1)

324をn段目、r+1番目の数とすると、
2268/324=3*(n-r)/(r+1)
よって、7=3*(n-r)/(r+1)……(1)
10206/2268=3*(n-r-1)/(r+2)
よって、9/2=3*(n-r-1)/(r+2)……(2)
(1)、(2)より、n=9、r=2
したがって、324は9段目の3番目の数。

お礼

早くの解答ありがとうございました。
この間返却された解答にもおなじことが書かれていました。

できれば２～３行目の計算過程の詳細を補足してもらいたいです。

回答No.2

Hyokko_Lin

#1の者です。補足します。

nCr=nCr=n!/{r!*(n-r)!}
なのはいいですね？　（公式ですね）
2268の項の2項係数を計算するのには、nC(r+1)が必要になります。
nC(r+1)は、nCrのrの代わりに、r+1を代入したものと考えれば、
nC(r+1)=n!/{(r+1)!*(n-r-1)!}
となります。

次に、nC(r+1)とnCrの比をとります。
nC(r+1)/nCr=[n!/{(r+1)!*(n-r-1)!}]/[n!/{r!*(n-r)!}]
ですね。
ここで、n!は約分できますので、整理すると、
={r!*(n-r)!}/{(r+1)!*(n-r-1)!}
となります。

r!=r*(r-1)*……2*1
(r+1)!=(r+1)*r*(r-1)*……2*1
より、r!/(r+1)!=1/(r+1)

(n-r)!=(n-r)*(n-r-1)*(n-r-2)*……2*1
(n-r-1)!=(n-r-1)*(n-r-2)*……2*1
より、(n-r)!/(n-r-1)!=(n-r)

よって、
nC(r+1)/nCr==(n-r)/(r+1)
です。

お礼

補足ありがとうございました。とてもわかりやすかったです＾＾
おかげで理解できました。またよろしくおねがいします。