円球の体積について

質問

ｙ二乗＝a二乗-x二乗を

x軸を中心に回転させた球を

ｘ＝ｂで分割し,

分割した、小さいほうの立体を

さらにｙ＝ｃで分割したときの、

一番小さい立体の体積の求め方がわかりません。

ｘ＝ｂで分割させたものの体積は

積分で求めることができるのですが。。。

どなたかよろしくおねがいいたします。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

投稿して受け付けたですが、今朝のこのサイトのトラブルで私の回答が消えてしまったようです。

＞ｘ＝ｂで分割させたものの体積は
積分で求めることができるのですが。。。

質問をする場合が「できるのですが。。。」と書かずに出来る範囲の解答を示すようにしてください。
回答者は質問者の解答をみてアドバイスをしますので、質問者の理解度を越えた書き方をしたり、分かっていると思われる部分は余分な回答をせずに済みます。

体積Vを与える定積分の式をお示ししますがその積分があなたが出来ることを前提にしてヒントを書きます。
すべて解答をすれば削除対象になりますので（^^;）
後はがんばってやってください。

【考え方ヒント】
対象の立体の体積Vを求めるには
yの高さで水平に切断した弓状の図形の断面の面積S(y)
を求めて
V＝∫[c->√(a^2 -b^2)] S(y)dy...■
を計算します。

簡単のため、b>0,c>0,a>0とします。

S(x)を求めるにはyの高さで水平に切断した円（半径x）の切断面を考えて
半径x,中心角2θの扇形を考えて
扇形の面積S1(x)から円弧の両端と円の中心を結んで出来る２等辺三角形の面積S2(y)を差し引いてやればいいですね。
S1(y)＝(πx^2)2θ/(2π)＝θx^2
ここで
cosθ=b/x，x^2=a^2-y^2 ですので
S1(y)＝θx^2＝(a^2-y^2）cos-1{b/√(a^2-y^2)}
となります。
２等辺三角形部分の面積は
S2(y)＝b x sinθ＝b√(x^2-b^2)
＝b√(a^2-b^2-y^2)
となります。
したがって、弓形の断面積は
S(y)＝S1(y)－S2(y)
＝(a^2-y^2）cos-1{b/√(a^2-y^2)}-b√(a^2-b^2-y^2)▲
この▲のS(y)の式を■のVの式に入れて積分すれば
Vの体積が求まります。

がんばって積分をやってみてください。

お礼

ありがとうございます！
S(y)の式につまずいていたので大変助かりました。
がんばって解いてみます。

回答No.1

noname#60992

三次元で考える必要があるので、ｚ軸をとりあえず追加します。

まず、x=bで分割させたものの体積はどのようにして求めたのでしょうか？　
円の面積をｚ方向に積分して計算するのが簡単な方法だと思います。　
ではその円を y=C できったときの面積はどのように求めますか？　
-ｂからｂまでの積分、もしくは0からｂの積分の２倍ですよね。　
これをｚ方向に積分していくわけですけと、積分の範囲は球の表面の関数で表現できますよね。　それを関数で書いてみたらどうなりますか？

お礼

ありがとうございます。