山のような立体の体積

質問

こんにちは。いつもお世話になっております。

今、数学で積分を使った慣性モーメントの求め方をやっているんですが、つまっています。
問題は「0≦x≦4,0≦y≦16の範囲で、y=16-x^2をy軸にそって回転させた立体の慣性モーメントを求めよ。」です。
慣性モーメントを知るために、まず回転させて出来たこのお山みたいな立体の体積を求めなければいけないのですが、求め方が分かりません。
円筒のように、この立体にも体積の公式ってあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

体積V=∫(0→16)π(16-y)dy
で計算できます。

積分はできますね。

分からなかったら経過の式を示して補足で質問してください。

お礼

早速の回答どうも有難う御座います。
今、少しやってみたのですが何だか上手く行きそうな感じで嬉しい♪
これで慣性モーメントに入れると思います。
ありがとうございましたー！

回答No.3

oyaoya65

#1です。
A#2さんの回答の中に下記間違いのうっかりミスがありますのでお知らせします。

＞そう、この円の半径はｘで、ｘ^2＝ｙ－１６なので、
この円の面積＝π（ｙ－１６）です。

ｘ^2＝１６－ｙ
円の面積＝π（１６－ｙ）
となります。
これ以降、これに関連したところは置き換えてください。他は正しいです。

お礼

有難う御座います！
何度もごめんなさい。すごく助かってます^^

回答No.2

gil3141

回転体をｙ軸に垂直な平面で切ってみましょう。
まずはｙ＝０としてｘ軸とｚ軸を含む平面で切ると、
半径４の円が切り口に現れますね。
一般に、この回転体を、ｙ軸に垂直な平面で
切ると、切り口には円が現れます（ｙ＜４として
ですが）。
そして、その半径は、その平面上でのｘの値となります。
与式からｙ＝１６－ｘ^２ですので、
上記円の半径は、
ｘ＝√（１６－ｙ）で表されます。
従って、この円の面積はＳ＝πｒ^2という一般式
から簡単に求められますね。
そう、この円の半径はｘで、ｘ^2＝ｙ－１６なので、
この円の面積＝π（ｙ－１６）です。
ところで、この山をできるだけたくさんの平面で
切って、たくさんの薄い円柱にわけ、これら円柱の
体積を足し合わせれば、山の体積を近似できます。
ここで円柱の厚みはｄｙですね。
切り口の円の面積は、π（ｙ－１６）なので、これに
微少量の厚み、つまりｄｙをかけてすべての円柱を
足し合わせればでます。
上記は近似の話ですが、積分を使うと、正確に求め
られますね。そう、ｄｙにπ（ｙ－１６）をかけて、
それを積分すればよいです。
積分区間は....ここからはもう大丈夫ですよね？

お礼

回答、どうも有難う御座いました^^
丁寧な説明でとても分かりやすかったです♪
公式だけでなくプロセスまで教えてくださって嬉しいです～