• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

ある体積を求める問題について。

【楕円面 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1 の囲む体積を求めよ。 】 という問題があるのですが、私は最初、 V = 8∫[b,0]∫[a√(1-y^2/b^2),0]z dxdy という式を立てて解こうとしたのですが、積分がうまく出来ませんでした…。 【 解答をみると、断面積をもとにして立体の体積を求める。…x=tで立体を切ると… 】 という解きかたで解いていました。 私のやり方では解けないでしょうか?あるいは、そもそも式の立て方が間違っているでしょうか? よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数621
  • ありがとう数10

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

> そもそも式の立て方が間違っているでしょうか? 間違いです。 dxdyの積分の中になぜzがあるのですか? a,b,c>0として V = 8∫[0,b]dy∫[0,a√(1-y^2/b^2)] c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2) dx 簡単のためにX=x/a,Y=y/bとおくと V = 8abc∫[0,1]dY∫[0,√(1-Y^2)] √(1-X^2-Y^2) dX ここでX=r cosθ,Y=r sinθ とおくと ヤコビアン|J|=rより dXdY=rdrdθ V = 8abc∫[0,π/2]dθ∫[0,1] r√(1-r^2) dr = 8abc(π/2)*[-(1/3)(1-r^2)^(3/2)] [0,1] =4abcπ/3

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

皆さん回答ありがとうございます。 すみません。一応zというのは楕円面の式をz=にしたときの右辺のつもりでした。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

えと.... z の積分は?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • Suue
  • ベストアンサー率35% (19/53)

すいません、下の式が間違っていました。下の式だと楕円体の表面しか表していません x=arsinθ sinφ、 y=brsinθ cosφ、 z=crcosθ (0≦r≦1)としなければなりません。θ、φの範囲はご自分でお考えください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Suue
  • ベストアンサー率35% (19/53)

積分の式はあっています。図形の対象性から、x≧0、y≧0、z≧0の体積を求めてそれを8倍するというところはよい考えです。式はあっていますが、このままだと積分しづらいので、曲座標変換をするといいでしょう。 例えば、x=asinθ sinφ、y=bsinθ cosφ、z=ccosθ とするれば、積分は簡単になるはずです。そのとき、ヤコビアンの計算を忘れないようにしましょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 楕円を回転 体積

    xyz空間内に 楕円C:x^2/4+y^2=1、z=0 直線l:z=x+2、y=0 がある。 楕円Cの周及び内部を直線lのまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ この問題なのですが、直線に垂直な面で切って断面積を考えて、それを積分するという方針で解こうと思っているのですが、断面積の出し方がよくわからなくて困っています。 回答いただければ幸いです。お願いします

  • 楕円体の体積と思われるのですが、この計算式は?

    楕円体の体積の計算式と思われるのですが、通常の式とは違うようなのです。 V = S^3/2 Vは体積、Sは断面積と考えられます。 楕円の縦(a)と横(b)の半径が分かるのみで、この式から体積は求められるのでしょうか? また、この公式は標準的なものなのでしょうか。 数学が苦手なもので、お教え頂けましたら幸いです。

  • 数3の回転体の体積の求め方について、教えてください。

    次のような問題の場合について、教えてください。 ■一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、ABとCDの中点をM,Nとするとき、この立体の直線MNを軸として1回転してできる立体の体積を求めなさい。■ というような問題なのですが、 MNの長さは普通に求めて(今回は、1/√2でした)、 MNに垂直にこの立体を切り、その断面積の回転体をS(t)として、∫S(t)dt で求めるという方針で解こうと思っています。 そこで、疑問なのですが、その断面積を求めるときに、 どのような断面になるかが、全くイメージできません。 答えは、長方形のような断面積になるらしいのですが、 そこまでたどりつくためのコツを教えてください。 よろしくお願いします。

  • 重積分の体積

    重積分の体積の問題で分からないものがあります。 どなたか解説頼みます(__ (1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。 (2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積 (3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。 (1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか? (2)図示できなので範囲もわからないです^^; それさえできればあとは積分するだけですよね? (1),(2)の疑問を解説して下さい(__

  • 積分法による体積の求め方

    数学(3)の積分法による体積の求め方で分からない部分があります。 [問] 底面の半径がr、高さがhである円錐の体積Vを求めよ。 [解] 円錐の頂点を原点Oとし、頂点から底面に下ろした垂線をx軸にとる。0≦x≦hとして、x軸に垂直で、x軸との交点の座標がxである平面でこの立体を切ったときの断面積をS(x)で表すと “S(x):S(h)=x^2:h^2” となる。… とあるのですが、“”の部分がどのようにして導かれるのか分かりません。どこからx^2やらh^2が出てくるのでしょうか?どうか教えてください。

  • 断面積の関数S(x)を積分して体積を求める時の断面

    断面積の関数S(x)を積分して体積を求める時の断面積関数の例を教えてください。

  • 楕円の回転体の体積を求める問題なんですけど、、

    「楕円:Xの二乗+1/2(Y-1)の二乗=1  の内部で、Yが0以上にある部分をX軸の周りに回転して得られる立体の体積  を求めよ」 という積分により体積を求める問題です。 スタンダードという解説が非常に不親切な問題集に載っているもので、また、 積分の計算過程などもよく分かりません。 よろしくおねがいします。

  • 回転体の体積の問題です。

    y=1/(1+x^2)の曲線とx軸に囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる立体の体積の求め方を教えてください。x^2=(1/y)-1として0から1の範囲で積分すれば良いと思うのですが、途中の式と計算を教えてください。積分を勉強したのは数十年前なのですっかり忘れてしまいました。

  • 断面積の求め方

    積分で体積を求める際の、断面積がわからないので、質問します。 問題は 真上から見ると円、正面から見ると半円、真横から見ると直角2等辺三角形であるような立体の体積を求めよ、ただしこの円および半円の直径と、直角2等辺三角形の斜辺の長さがは等しく、2aであるとする。 というものです。 自分は円の中心Oを通る直角2等辺三角形を断面積として、斜辺が2a 等しい残りの2辺が、√2aとし、断面積a^2、体積を∫(0→2a)a^2dxとして計算しましたが間違いでした。 解説では、円の中心Oからx離れた、直角2等辺三角形の斜辺の半分は、√(a^2-x^2) より断面積a^2-x^2、体積2∫(0→a)(a^2-x^2)dx=(4/3)a^3でした。 分からない点は、断面積を求める際、x軸上の点xにおけるx軸に垂直な平面の断面積を使うのはなぜでしょう。この問題ではなぜ、xを含む断面積を積分したのでしょうか? 解説お願いします。

  • 管内の流速が r の関数で与えられた場合の体積流量

    タイトルそのままです。 管内の流速 u が r の関数で与えられた場合、 体積流量はどうやって求めればいいのでしょうか。 自分なりに考えてみたのですがどれも違う気がします……。 1、 u を0からRまで(R:管の半径)積分したものに管の断面積πR^2をかける。   速度を足し合わせたものに面積をかけたらとんでもない数になりそうな気がします……。 2、u*πr^2を0からRまで積分する。   中心付近の流量が重複されて足されそうです……。 3、断面積πR^2に、その断面を通る流体の平均速度をかける。   これが一番望みがありそうなのですが、平均速度の出し方がわかりません……。 どうすればよいのでしょうか。教えて下さい。