ある体積を求める問題について。

質問

【楕円面
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1
の囲む体積を求めよ。
】
という問題があるのですが、私は最初、
V = 8∫[b,0]∫[a√(1-y^2/b^2),0]z dxdy
という式を立てて解こうとしたのですが、積分がうまく出来ませんでした…。
【
解答をみると、断面積をもとにして立体の体積を求める。…x=tで立体を切ると…
】
という解きかたで解いていました。

私のやり方では解けないでしょうか？あるいは、そもそも式の立て方が間違っているでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

> そもそも式の立て方が間違っているでしょうか？
間違いです。
dxdyの積分の中になぜzがあるのですか？

a,b,c>0として
V = 8∫[0,b]dy∫[0,a√(1-y^2/b^2)] c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2) dx
簡単のためにX=x/a,Y=y/bとおくと
V = 8abc∫[0,1]dY∫[0,√(1-Y^2)] √(1-X^2-Y^2) dX
ここでX=r cosθ,Y=r sinθ とおくと ヤコビアン|J|=rより
ｄXdY=rdrdθ
V = 8abc∫[0,π/2]dθ∫[0,1] r√(1-r^2) dr
= 8abc(π/2)*[-(1/3)(1-r^2)^(3/2)] [0,1]
=4abcπ/3

お礼

皆さん回答ありがとうございます。
すみません。一応zというのは楕円面の式をz=にしたときの右辺のつもりでした。

回答No.3

Tacosan

えと....
z の積分は?

回答No.2

Suue

すいません、下の式が間違っていました。下の式だと楕円体の表面しか表していません
ｘ＝ａｒsinθ sinφ、
ｙ＝ｂｒsinθ cosφ、
ｚ＝ｃｒcosθ
（０≦ｒ≦１）としなければなりません。θ、φの範囲はご自分でお考えください。

回答No.1

Suue

積分の式はあっています。図形の対象性から、ｘ≧０、ｙ≧０、ｚ≧０の体積を求めてそれを８倍するというところはよい考えです。式はあっていますが、このままだと積分しづらいので、曲座標変換をするといいでしょう。

例えば、ｘ＝ａsinθ sinφ、ｙ＝ｂsinθ cosφ、ｚ＝ｃcosθ　とするれば、積分は簡単になるはずです。そのとき、ヤコビアンの計算を忘れないようにしましょう。