サイクロイドの回転体積。

質問

サイクロイド
x=a(t-sint) y=a(1-cost)(0≦t≦2π)
をx軸を中心に回転させた体積を求める式と
出来る限りでいいのでその計算過程を教えてください。
（途中まで計算したのですが、積分が進まなくて困っています；；
式があっているのかもわからなくて・・）

回答No.6

KaitoTVGAMEKOZOU

「数学ショートプログラム」と質問検索で調べると、４つばかり出てきました。あくまでご参考までに。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU

遅れたぞ。今日、飲み会があったもんで、すっかり忘れてました。文句ある？

（☆1）は大学への数学・数学ショートプログラムという本のＰ７０，Ｐ７１（グラフの変換(2)変換のしくみ）辺りを読んでくれると説明しないで済むのだが、まあ要点だけを書きましょう。

点(ｘ，ｙ)がｙ＝f(ｘ)…（１）を満たすとする。
さらに、Ｙ＝ｇ(Ｘ)は（１）式の表わすグラフをｘ軸方向ａ倍したグラフを表わす式とする。
よって、点（Ｘ，Ｙ）＝(ａｘ，ｙ)がいえる。
これは、逆に点（ｘ，ｙ）＝（Ｘ／ａ，Ｙ）とも書ける。
｛∵逆の対応：点(ｘ、ｙ)が決まって点(Ｘ，Ｙ)が決まるなら、逆に点(Ｘ，Ｙ)が存在するには点(ｘ，ｙ)が存在しなければならない）
点（ｘ，ｙ）がｙ＝f(ｘ)を満たす
⇔ｙ＝f(ｘ)に点(ｘ，ｙ)＝（Ｘ／ａ，Ｙ）を代入したＹ＝f(Ｘ／ａ)を満たす。
よって、ｆとｇを比べて、
ｙ＝f(ｘ)のグラフをｘ軸方向ａ倍したグラフを表わす式は、ｙ＝f(ｘ／ａ)である。

ちょっと大まかだけど詳しくは教えた本を読んでくれ。（実は、あの本の説明は視覚的にやっているのであまり詳しくはない。ていうか高校生にはあれでいいと思う。極限だって矢印→０とかあいまいなことやっているんだし）

この変換で重要なことが、いくつか本に載っているんですが今回の問題で重要なのは「接点は接点、交点は交点に移る」と「閉領域の面積はａ倍になる」である。これは当たり前と感じてくれると良い。視覚的理解では交点、接点の周りを調べればなんとなく成り立ちそうでしょ。面積は変換前の微小長方形がａ倍されるのはすぐ理解できるでしょ。この証明はご自分でおやりください。

やっと、本題に入れる。
ｙ＝{sin(t/2)}^6　は、ｙ＝{sin(t)}^6　をｘ軸方向に２倍拡大したものなので、当然囲まれる面積も２倍になる。
ゆえに、
V ＝１６πa^3 ∫(0～π){sin(t)}^6 dt

さて、ｙ＝sinｘ（０≦ｘ≦π）はｘ＝π／２について線対称ですよね。ということは、ｙ＝(sinｘ)^6（０≦ｘ≦π）だって、ｘ＝π／２について線対称だ。よって、
Ｖ＝３２πa^3 ∫(0～π/2){sin(t)}^6 dt

Ｉｎ＝∫(0～π/2){sin(t)}^ｎ dt＝∫(0～π/2){cos(t)}^ｎ dt…（２）
の定積分は知っているだろうか。知らなかったら、教科書に載っていると思うのでご自分で調べておいてね。
ちなみに、ｎが偶数のとき、（２）式の値は、
{(ｎ－１)/ｎ}×{(ｎ－３)/(ｎ－２)}×……×(３／４)×(１／２)×(π／２)　で、ｎが奇数のときは、
{(ｎ－１)/ｎ}×{(ｎ－３)/(ｎ－２)}×……×(４／５)×(２／３)×１　
である。よって、
Ｖ＝３２πa^3×（５／６）×（３／４）×（１／２）×（π／２）
　＝５π^2ａ^3
結果がsiegmundさんと同じになるでしょ。このやり方の正しい証拠だ。しかも（２）式までは計算らしいこともほとんどしなくていいし、（２）式と結果をしっていれば、積分計算をすることもない。慣れればこちらの方で検算なんかやれるでしょう。回答の書き方は私のような感じでいいでしょう。学力の低い人は理解することも出来ないでしょうが、少なくとも大学の試験を出す教授なんかになると、ああ、この子はよく勉強しているな、よく文部科学省の愚かな指導方針に振り回されず道を極めたな、なんて思われるかもね。私だったら思う。
うわー気が付いたらとんでもなく長くなってしまった。

回答No.4

KaitoTVGAMEKOZOU

揚げ足とりみたいなまねをして大変申し訳ないのですが、siegmundさんの解は間違ってはいないのですが、質問者は計算で四苦八苦しているようなので、やさしい計算法を回答したいと思います。（でも知識は必要）

V = πa^3 ∫(0～2π) (1 - cos t)^3 dt 　　　…（１）

１－cosｔ＝２{sin(t/2)}^2 より、（１）は、
V =８πa^3 ∫(0～2π){sin(t/2)}^6 dt

さて、ｙ＝{sin(t/2)}^6　は、ｙ＝{sin(t)}^6　をｘ軸方向に２倍拡大したものなので、…（☆1）
V ＝１６πa^3 ∫(0～π){sin(t)}^6 dt
　＝３２πa^3 ∫(0～π/2){sin(t)}^6 dt
　＝３２πa^3×（５／６）×（３／４）×（１／２）×（π／２）
　＝５π^2ａ^3

＜解説＞
ちょっと時間がないので、解説を誰かやってくれるとうれしいのだが、夜７：００ごろやります。もっと早いかもしれない。

回答No.3

siegmund

x～x+dx の部分は高さ dx で半径 y の円柱と見なせるから，
その部分の微小体積は dV = πy^2 dx
あとは，これを積分すればいいですか．
(1)　　x=a(t - sin t)　⇒　dx = a(1 - cos t) dt = y dt
(2)　　y=a(1 - cos t)
ですから
(3)　　V = πa^3 ∫(0～2π) (1 - cos t)^3 dt
ですね．
(4)　　(1 - cos t)^3 = 1 - 3 cos t + 3 cos^2 t - cos^3 t
ですが，奇数べきの定積分はゼロです．
1 のところからの寄与はもちろん 2π
3 cos^2 t = (3/2) (cos 2t + 1)
ですから，定積分への寄与は 3π
したがって，
(5)　　V = πa^3 (2π + 3π) = 5π^2 a^3

> 途中まで計算したのですが、積分が進まなくて困っています；；
具体的にどこまで計算したか書かれた方が回答もつきやすいと思いますよ．

回答No.2

sumou111

すいません。面積と体積を見間違えました。あ～恥ずかしい!!!

回答No.1

sumou111

S=∫[0から2πa] y dy

=∫[0から2π] a^2・cos^2(t) dt

=a^2・∫[0から2π] (1-2cost+cos^2(t)) dt

=a^2・∫[0から2π] (t-2sint+(1+cos2t)/2) dt

=3πa^2

媒介変数で表された面積の求め方は、数(3)の参考書に載っていると思いますよ。

お礼

面積はのっていたのですが、
サイクロイドの体積は載っていなくて
テストにでるらしいのですが、計算できなくて困っています；；