群と自己同型

質問

有限群Ｇとその上の自己同型Ｔが与えられていて次の条件を満たしているとします：

|{g∈G: T(g)=g^(-1)}| ≧ (3/4)|G|

ただし集合Ａに対して|Ａ|はＡの個数を表しています。
このときすべてのg∈Gに対してT(g)=g^(-1)が成り立つことを示したいのですが（したがってＧはアーベル群）方針をうまく立てられません。鳩ノ巣原理とかを使ったりして比較的簡単に示せると思うのですがどのようにして示せるのでしょうか。どなたか分かりましたら方針だけでもよろしくお願いします。

回答No.1

adinat

簡単そうで難しいと思いましたが、そもそも正しくないようです。下記が恐らく反例を与えています。

Gをハミルトンの四元数群={±1,±i,±j,±k}として、
i^2=j^2=k^2=-1、ij=k、jk=i、ki=jで演算を定義しておきます。

T(i)=-i、T(j)=-j、T(k)=kなる変換Tを考えるとこれは同型です。たとえば、
T(ij)=T(k)=k=(-i)(-j)=T(i)T(j)
T(jk)=T(i)=-i=(-j)(k)=T(j)T(k)
などが成り立つからです。

T(±1)=±1=(±1)^{-1}
T(±i)=-(±i)=(±i)^{-1}
T(±j)=-(±j)=(±j)^{-1}
（マイナスプラスの記号がないので分かり難いですが）が成り立つので、
|{g∈G: T(g)=g^(-1)}|=6≧(3/4)|G|です。

補足

回答ありがとうございます。質問してから気付いたのですが≧ではなく＞のようです。すなわち狭義に3/4より大きいに訂正させてください。