多様体：写像度

質問

f:S^n→S^n を
f(x_1,…,x_n+1)＝(-x_1,…,-x_n+1)
で定める時、この写像度はどうなるのでしょうか？

自分の考えを書いてみます。
局所座標系として U_n+1＝{(x_1,…,x_n+1)|x_n+1＞0} を使うとして x_n+1 が、他のn個の x_i によって表されて、ヤコビ行列が n+1行n列 になると思うんです。でもそうしたら、このｆってどの点でも微分が全射じゃなくなってしまって、正則値も取れないのではないかと思ってしまいます。しかもこのヤコビ行列で行列式はないだろう・・・沈、という感じです。

お願いいたしますm(_ _)m

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

＞上の定義は授業で配られたプリントにちょこっとのっていたものなのですが…。

その定義が本当なら，何か前提条件とか
抜けているものがあると思います．
先生に聞くのが一番いいでしょう．
一般的な写像度の定義とはちょっと違う感じが・・

＃正則点の逆像の各点において，
＃そのヤコビアンが正ならば1，負ならば-1として
＃その値を逆像の各点に対してすべて足す
＃というのなら納得できる定義なんですが・・・
＃＃ただし，この定義がwell-definedであるかは
＃＃検討する必要がありますし，一般的な
＃＃写像度の定義と一致するかも議論が必要です

一般論ですが，
大学の先生はとっつきにくい感じかもしれませんが
きちんと質問すればきちんと対応してくれます
特に数学の先生は議論好きな人が多いですから
疑問はどんどんぶつけましょう．
勉強すべき文献・論文も教えてくれると思います．

それとU_jですがこれ開被覆になってません
球面の場合は，計算式は面倒かもしれませんが
立体射影を使う方が見通しがよいことが多いです
多様体の基本的なことは
松本幸夫「多様体の基礎」東京大学出版会
をお勧めします．独習できる良書です．
＃これが理解できれば
＃名著にして難著
＃松島与三「多様体入門」裳華房
＃も読めるかも

お礼

遅れてしまい、すみません。

どうもありがとうございます。
自分が考えていた写像度の定義は、kabaokabaさんの書かれた定義と同じ物で、「この問題の場合はこうなるのかな？」と勝手に解釈して書いてしまったので紛らわしくなってしまいましたね。すみません。

また大学の授業が始まるので、色々疑問に思うことを質問していこうと思います。

回答No.1

kabaokaba

とりあえず
・あなたの採用している「写像度の定義」を明確にする
のが大事です．

どういう定義が採用されているかわかんないですけど
直観的には1かなぁ・・同相写像だし
一重にしか被覆してないし．

それと局所座標系を定義域，値域の
両方で適切にとってないからでは？
n次元多様体からn次元多様体の
同相写像ですからJacobianは消えません．

＃けど，普通は写像度って微分構造なしで
＃定義してるような、、そうじゃないと
＃ホモロジーとかホモトピーの役には立たない
＃とにかく多様体やトポロジーの
＃入門書にあたりましょう．

お礼

ありがとうございます。

定義は、このfについて、正則値の逆像の点におけるヤコビ行列式の正負を言うみたいです。

あと、局所座標系を値域の方でちゃんととっていませんでした。指摘して頂いて気づきました。それでなんですが、定義域の方で自分の書き込みにあるU_n+1を取ったとして、値域の方ではどのU_iを取ったらいいのでしょうか。

写像度ってそういうものなのですか。手元の参考書には言葉すら載っていなかったもので。上の定義は授業で配られたプリントにちょこっとのっていたものなのですが…。