ユークリッド平面の１点コンパクト化について
いくつか質問をさせてください。
まず、以下の流れにおかしいところはありませんか。
ユークリッド平面R^2に、平面上にない点∞を１つ加えて、
R^2∪｛∞｝をコンパクトにできることを証明したいと思います。
そこで、ユークリッド空間R^3において、原点を中心とした半径１の球面S^2を考え、
S^2とR^2∪｛∞｝が同相であることを示せれば、
S^2が有界閉区間であるがゆえ、同相写像によってコンパクト性は保たれるので、
R^2∪｛∞｝もコンパクトであることがわかります。
ここで、
(1)S^2から北極点(0,0,1)を除いた集合S^2 - ｛(0,0,1)｝とR^2が同相であることを示し、
(2)それを用いて、S^2とR^2∪｛∞｝が同相であること
を示そうと思うのですが、それが上手くいきません。
(1)写像φ:S^2 - ｛(0,0,1)｝ → R^2を、立体射影を考えるように定義する、
つまり、φ(x1,x2,x3) = (x1/(1-x3) , x2/(1-x3)) という風にすれば、
これは全単射であることは、簡単にわかります。
ですが、これが連続であることを証明するにはどうすればいいでしょうか。
x1/(1-x3)が連続であることを示せばいいのでしょうが、
ちょっと解析学が怪しくて・・・。
どなたかご教示願います。
話は戻り、逆写像φ^-1 についても、同じように連続であることを示して、
φが同相写像であることを示せたとします。
(2)ここからナゾが増えてきます。まず、R^2∪｛∞｝にはどんな位相を定めればいいのでしょうか。
教科書を見れば、”一点コンパクト化”というのは、
｛R^2のopen set 全体｝∪｛(R^2∪｛∞｝)-K | KはR^2のコンパクト集合｝
という集合族を作れば、これはR^2∪｛∞｝の位相になり、コンパクトとなる。
と書いてあるのですが、このような位相にすればいいのでしょうか。
そうだとして、またギロンを進めます。
Ψ:S^2 → R^2∪｛∞｝を、φを拡張した写像とし、
Ψ((0,0,1))=∞とすれば、
これが同相写像になるらしいのですが、うまく示せません。
ひとまず、R^2∪｛∞｝からopen set Oをひとつとり、そのΨの逆像がS^2のopen setになることを
示す方向で、Ψが連続になることを示そうと思いました。
Ｏが∞を含まないopen set だったとき、R^2∪｛∞｝の位相の定義から、
ＯはR^2のopen set であるといえます。
だから、Ψ^-1 (Ｏ) = φ^-1 （O）で、φの連続性より、これはS^2 -｛(0,0,1)｝のopen setになります。
省きますが、いろいろやって、これはS^2のopen setであることもいえました。
問題は次で、
Oが∞を含むopen setだったときです。
そのときOは、(R^2∪｛∞｝)-Kの形で表せますよね。
このとき、Ψ^-1(Ｏ) =S^2 -φ^-1 (K)の形で表せました。
これがS^2のopen setであることをいうためには、どうすればいいのでしょう。
ネットをいろいろみてみても、”開基”を考えたりして証明しているのですが、
よくわかりません。そもそもなぜ開基をいれる必要があるのかが不明です。
以上です。ヒントだけでもいいので教えてください。
