不等式の証明

質問

1/x-log(x+1)+logx>0 (x>1)
を証明したいのですが、微分して、増減表を書くとこまでは行ったのですが、どうもそこから、最小値を求めることが出来ません。真数条件からx>1となっていて範囲が定まりにくくて…。そこで極限でx→1にしてみようと思いましたが、同時に
-1/x-log(x-1)+logx>0
も証明しなくていけなくて、 そうすると、もー訳わかんなくて…；
この場合、真数条件も踏まえた場合、どこを最小値にすればいいんでしょうか？

回答No.3

debut · ベストアンサー

微分して、その後増減表は書けたのですか？
微分したら関数が　-1/x^2(x+1) となりましたけど。

f'<0 より、左辺の関数は単調減少だから　x→∞ の極限値を求めればいいのじゃないか
と思うのですが・・

　lim[x→∞]{1/x-log(x+1)+logx}=lim[x→∞]{1/x+logx/(x+1)}=0
となります。

違ってますかね？

お礼

！！わかりました！！ありがとうございました！！

回答No.4

sunasearch

No.2です．

まちがえました．

x=1で最大値1-log2>0になり，
(x=1にはなりませんが)
以降，単調減少でNo.3さんの通り極限が0でよいかと思います．

お礼

わかりました！ありがとうございました！

回答No.2

sunasearch

ご質問の意味もよくわかっていないのですが，

微分すると結局，x=1で最小値1-log2>0になり，
(x=1にはなりませんが)
以降，単調増加ではなぜだめなのですか？

回答No.1

sunasearch

-log(x+1)+logx = log{x/(x+1)}から最小値を求めてはいけないのでしょうか？

お礼

なぜそう思われるかを明記してくださいませんか？お願いします。