f(x)=1+logx+2√x>0の証明に関して

質問

f(x)=1+logx+2√x>0の証明に関して

不明な箇所が2点あります。宜しくお願いします。

取りあえず微分します。
f'(x)=(1/x)-(1/4x√x)

f(x)の極値を求めます。
(1/x)-(1/4x√x)=0
(1/x)=(1/4x√x)
1=1/4√x
4√x=1
√x=1/4
x=1/16

f(1/16)=3+log(1/16)
=3-log16
=3-4log2

3-4log2>0なのでf(x)=1+logx+2√x>0となる。

以下質問です。

3-4log2が最小値であるのはf(x)=1+logx+2√x>0からして自明だと
思うのですが、最小値であることを示す必要はありますか？

又、3-4log2>0は正になるのですが、ここにも何かしらの説明は必要でしょうか？

お手数をお掛け致します。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#2です。

>出題が f(x)=1+logx+1/(2√x)>0の証明です。
>xの範囲が(x>0)です。

こうなら話があいます。
また、ところどころミスが目立ちます。

>以下質問です。
> 3-4log2が最小値であるのはf(x)=1+logx+2√x>0からして自明だと
　正：f(x)=1+log(x)+{1/(2√x)}>0
> 思うのですが、最小値であることを示す必要はありますか？

証明すべき結果をつかって自明ということがダメに決まっています。
f'(x)=0から求めたxは単なる停留点候補に過ぎません。そこで極値（極大値または極小値）をとる場合だけでなく。極値をとらない場合もあります。また極大値が最大値候補ではあっても必ず最大値になる場合とならない場合があり、また、極小値は最小値の候補であっても最小値の場合と最小値でない場合があります。
（参考URL）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4

なので、x=1/16で求めたf(1/16)が最小値という保証はどこにもありません。極小の条件を満たし、さらに最小値であることを示さないと証明としては不完全です。今の場合、さらにx>0で最小値が正であることを示さないといけませんね。

>又、3-4log2>0は正になるのですが、ここにも何かしらの説明は必要でしょうか？
必要ですね。

f(1/16)=3-4log(2)=log((e^3)/16)
ここで、e^3>2.6^3>17 なので (e^3)/16>17/16>1
従って
f(1/16)>log(1)=0
などと触れておかないといけませんね。

お礼

いつもお世話になります。色々と理解できました。結構、極値に関する基礎知識が欠落していたようです。

回答No.7

alice_38

高校で習ったと思いますが、増減表を書いてしまえば、
f(1/16) が唯一の極小値 = 最小値であることが
一目瞭然になります。言葉で長々説明するより、
そのほうが簡明です。

お礼

有難うございます。最近微積ばかりで、その考え方が抜けていました。

回答No.5

imasokari

#3(,4)です。

　間違えました

e=2.718

でした、ゆえに
e^3=20.08

お礼

有難うございます。

回答No.4

imasokari

こんばんは。

　質問の内容と#1さんと#2さんの解答を総すると…
　微分結果からすると
f(x)=1+logx+2x^(1/2)
ではなく
f(x)=1+logx+x^(-1/2)/2
が正しい数式なのでしょうか。
　上者ですとx=0.001なんて代入するとあからさまにf(x)<0ですものね。
　もう一度正しい式をお願いできませんでしょうか。

　なお
3-4log2>0
を証明。

loge^3-log2^4>log1
ですから、
log(e^3/16)>log1
すなわち
e^3/16>1
つまり
e^3>16
を示せばよいようです。

　e=2.78として
e^3=21.48
　よって
3-4log2>0

補足

すみません、いろいろと誤入力がありました。

まず、出題が f(x)=1+logx+1/(2√x)>0の証明です。

xの範囲が(x>0)です。

意味不明な書き込みをしてしまい申し訳ありません。

回答No.3

imasokari

こんばんは。

　質問の内容と#1さんと#2さんの解答を総すると…
　微分結果からすると
f(x)=1+logx+2x^(1/2)
ではなく
f(x)=1+logx+x^(-1/2)/2
が正しい数式なのでしょうか。
　上者ですとx=0.001なんて代入するとあからさまにf(x)<0ですものね。
　もう一度正しい式をお願いできませんでしょうか。

　なお
3-4log2>0
を証明。

loge^3-log2^4>log1
ですから、
log(e^3/16)>log1
すなわち
e^3/16>1
つまり
e^3>16
を示せばよいようです。

　e=2.78として
e^3=21.48
　よって
3-4log2>0

回答No.2

info22_

最初に
> f(x)=1+logx+2√x>0の証明
が成立するxの範囲が書いてありませんが、その状態でどう証明するのでしょうか？

> 取りあえず微分します。
> f'(x)=(1/x)-(1/4x√x)
この微分、間違っています。

従って、以降の計算の展開の意味がありません。

f(x)=1+log(x)+2√x (x>0)

f'(x)=(1/x)+(1/√x)=(1+√x)/x >0 (∵x>0)
なのでx>0で単調増加関数。従って極値は存在しません。

補足

すみません、いろいろと誤入力がありました。

まず、出題が f(x)=1+logx+1/(2√x)>0の証明です。

xの範囲が(x>0)です。

意味不明な書き込みをしてしまい申し訳ありません。

回答No.1

Tacosan

まず, このままいくなら「最小値であることを示す」必要はあると思います. なぜなら, 今のままでは f(x) が x = 1/16 で「極値をとる」ことしか言っていないからです. このときに極小値をとることを言っておけば問題ないのですが, そうでないと「f(x) が x = 1/16 のときに極大値になる」という可能性を否定していないことになるからです. 「1 + log x + 2√x > 0 からして自明だと思う」と書かれていますが, これは変です. 「1 + log x + 2√x > 0」はどこから出てきたのですか?
あと, 3 - 4 log 2 > 0 もその理由を言っておいた方がよいでしょう.

お礼

有難うございます。