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f(x)=|x| の極値
関数f(x)=|x| はx=0で微分可能ではないが、x=0のとき極小値を持つのは、x=0の前後で、f'(x)の符号が－から+になるためでよいでしょうか。f'(0)=0となる必要はないのですよね。これと比較して関数f(x)=x^3は、f'(x)の符号が常に+になるために、f'(0)=0であっても、極値を持たない。 ここで質問ですが、f'(x)の符号が、f'(a)の前後で変化したらx=aで極値になるのか、 f'(x)の符号が、f'(a)=0を満たすa,の前後で変化したらx=aで極値になるのか、どちらですか教えてください。
- situmonn9876
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>関数f(x)=|x| はx=0で微分可能ではないが、x=0のとき極小値を持つのは、x=0の前後で、f'(x)の符号が－から+になるためでよいでしょうか。 その通りです。 >f'(0)=0となる必要はないのですよね。 その通りです。 >これと比較して関数f(x)=x^3は、f'(x)の符号が常に+になるために、f'(0)=0であっても、極値を持たない。 その通りです。 >f'(x)の符号が、f'(a)の前後で変化したらx=aで極値になるのか、 f'(x)の符号が、x=a の前後で変化したらx=aで極値になるのか、 こちらが正しいです。 >f'(x)の符号が、f'(a)=0を満たすa,の前後で変化したらx=aで極値になるのか、 こちらも正しいですが, <<f'(a)=0を満たすa>> は 必ずしも必須条件ではありません。 <<x=a の近傍でf(x) が連続であること>> が必須条件です。
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お礼
丁寧なお返事、ありがとうございます。