一般次元でのエッカートポテンシャルはどんなものですか？

質問

こんにちは。僕は数学の人間です。物理はほとんど知りません。ですが、最近シュレディンガー方程式について考えていて、いろいろポテンシャルを変えて固有関数を求めたりしています。そこでエッカートポテンシャルというものを知りました。

見つけた本にはSech^2[αx]の定数倍の形をしものをローゼン・モース型ポテンシャルの特別なケースとして、エッカートポテンシャルと呼ぶ、とありました。ちなみに物理学30講シリーズです。それで一般のn次元空間の場合、このポテンシャルの形状はどうなるのか、ということが知りたいのです。もちろん定義次第で変ることもあるかとは思うのですが、一般的にはどうなっているのかな、と。そもそもどういう文脈でこのポテンシャルが現れるのかも知らないので、困っておりました。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

私は一般次元でのシュレーディンガー方程式はよく知りません。それならば回答しなければ良さそうなものですが、少し書かせて下さい。まずEckartポテンシャルがどのような文脈で使われるかですが、Supersymmmetric Quantum Mechanics で解くことができるシュレーディンガー方程式の一つとして現れます。解けるための十分条件はポテンシャルと超対称パートナーポテンシャルがshape invarianceを満たすことです。このようなポテンシャルとしてEckartの他、Rosen-Morseや３次元調和振動子、クーロンポテンシャル、Scarf I などがあり、これらはpoint canonical coordinate transformationで関連付けられます。量子力学を勉強すると解けるシュレーディンガー方程式と解けないシュレーディンガー方程式の違いは何かという疑問が生じ、その疑問は解決されないまま残ってしまいますが、Supersymmmetric Quantum Mechanicsが解決してくれました。総合報告として
　F. Cooper et al.:Supersymmmetry and quantum mechanics, Physics Reports 251 (1995) 267
があります。Supersymmmetric Quantum Mechanicsについてはこの文献の一読をお勧めしたいと思います。これによれば調和振動子やクーロンポテンシャルは一般次元でもshape invariantであるとされていますが、Eckartは一般次元では多分shape invariantにならないので解くとこはできないのではないでしょうか。

お礼

大変有益な情報を提供してくださって、ありがとうございます。