はしごが倒れる先端の速度

質問

これは私の実生活から興味が出た疑問です。ある長さの均一な質量のはしごの上に軽い人が乗っていて、ほぼ垂直に立てかけてある。地震で傾き始め、９０度回転して人が地上に落ちた。そのときの速度を求めます。はしごの長さは計算がしやすく、答えが整数に近い、５メートル前後を入れてください。なお私は、はしごが軽い場合は、はしごなしに鉛直に落ちる早さだと知っています。なお、はしごの長さ、はしごと人の重さの比などで簡単にもとめられたらそれも教えてください。

回答No.8

Teleskope

１．
　高さL（はしご先端）から自由落下での着地速度 v は
　　v = √(2gL)

2.
　はしご（質量M）と先端の人（質量m）が 一体で横転；

　　　　　　　　　　　　一体の重心
　　　　　　　　　　M　　　↓　　　 m
下端━━━━━●━━━━━● 先端
　　　├─L/2─→
　　　├──── X ─→
　　　├───── 全長 L ─→

重心位置 X は、重心のまわりの（質量×距離）の合計=0より、
　　M(L/2-X)＋m(L-X) = 0
より、
　　X = L(m+M/2)/(m+M)

　高さ X 質量 m+M の位置エネルギは
　　E = g(m+M)X = g(m+M/2)

　一体となった状態の 慣性モーメント I は

　　I = (はしご重心まわりのI)＋(下端を支点とした質点MのI)＋(下端を支点とした質点mのI)

です。（これの説明は省きますが必要なら補足請求してください。）

　　I = (1/12)ML^2＋M(L/2)^2＋mL^2
　　　= (m+M/3)L^2

　回転運動のエネルギー E=(1/2)Iω^2 よりω= √(2E/I)、はしご先端の速度 V は
　　V =ωL = L√(2E/I)
　　　= L√( 2g(m+M/2)L /((m+M/3)L^2) )
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　/　　　 m＋M/2
　　　＝　/　2gL ────
　　　　 Ｖ　　　　　m＋M/3

試算；
はしごが超軽ければ V = √(2gL) = 自由落下の式と同じ。
人間が乗ってなければ V = √(gL/3) = 自由落下の0.82倍
人間60kgはしご10kg なら V = 自由落下の1%増し。

お礼

この一連の回答を受けて、はしごの先端の地上付近での落下は、自由落下より早いと納得した。これは驚きであった。

補足

わかりやすく表現していただいた式をありがとうございます。（私には難しいですが）疑問。あなたの間違いでないかと思うのですが、最後の行は1と0.8の間にならないのですか。また、大きなルートの中は、M/2割るM/3は１より大きくなりどこか間違えているように思います。よろしくお願いします。