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はしごが倒れる先端の速度
Teleskopeの回答
- Teleskope
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余談; 倒れるまでの時間 垂直な棒が傾き始める当初、運動は横向きですから、重力のそっち向き成分は とても小さく、初期加速はとても小さい。 最初が完全に垂直なら 無限大の時間がかかります。(ホウキを逆さに指に立てる遊びですね。) はしごのような長さLの棒の慣性モーメントは、回転中心が重心なら (1/12)ML^2、端なら それ+M(L/2)^2=(1/3)ML^2 です。これを I と書きます。 回転運動の運動方程式は、 T+I(d2θ/dθ2) = 0 Tはトルク、シータは回転角度 θを真下から測ると、重力の回転方向成分は Mgsinθ です(*)。 トルクは 腕の長さ×力 だから、 (L/2)Mg sinθ+I(d2θ/dθ2) = 0 で、LもMもgもIも みんな定数だから、まとめて整理したものを A と書きます。 (d2θ/dθ2)+Asinθ = 0 これは振幅θがとても小さいときは sinθ≒θ として解けますが、真上≒180度=π と大きな場合は残念ですが解けません。普通は数値計算です。(古い数学の本なら後ろに「楕円積分の数表」が載っていますね。) (*):sinθ≦1だから、1より小さいものが掛かるくらいなら、真っ直ぐ自由落下したほうが早そうだと想像がつきますね。 一番下に角度と共に急増する図があります。垂直なら無限大です。 http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/tanfuriko/tanhuriko-1/tanhuriko-1.html 4ページ。「数値計算しなさい」と課題にされてます。 http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda/TeX/PDF/compss03-4.pdf
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