三角関数

質問

問(1)方程式を解く
０≦ｘ＜２πの時 cos2x=cosx
cos2x=cosx
cos2x-cosx=0
cos(2x-x)=0
cosx=0
∴x=0,π/2,3π/2
だと思ったのですが、答えが違います。どこが間違っているのでしょうか？

問(2)不等式を解く
3√3sinx+cos2x-4<0
これはどうやっていいか全くわかりません。先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが…

問(3)最大値、最小値を求める。
0≦x<πの時 y=cos^2x+sinx
y=cos^2x+sinx
=1-sin^2x+sinx (sinx=tとおき)
=-t^2+t-1
=-(t^2-t)-1
=-(t-1/2)^2+5/4
と最大値が5/4とはわかるのですが最小値はどうやって求めたらいいのでしょうか？与式に０orπを代入するのですか？

問(4)最大値、最小値を求める
0≦x<π/2の時 y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x
これは因数分解できないと思うのですが、どうすればいいのでしょう。-4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが（sin,cosどちらかにそろえること）

どれか一つでもいいのでよろしくお願いします。

回答No.4

kansai_daisuki · ベストアンサー

>問(1)方程式を解く
>０≦ｘ＜２πの時 cos2x=cosx
>cos2x=cosx
>cos2x-cosx=0
>cos(2x-x)=0

ここが違います。
>cos(2x-x)=0
にはなりません。
>cos2x-cosx=0
の次の変形には、
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
（和積の公式）を使います。
α,βは、α+β=2xとα-β=xから求めます。

>問(2)不等式を解く
>3√3sinx+cos2x-4<0
>これはどうやっていいか全くわかりません。先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが…

cos2xをsinのみの式にします。
cos2α=1-2sin^2α

※アドバイスとしては、三角関数の問題を解きたいならば、三角関数の式ぐらいは覚えておいた方が良いです。

三角関数の公式が１万個もあるわけではないですから、数個しかないじゃないですか。思考力が必要であるといわれる数学にも、公式を暗記するぐらいの暗記力は要ります。ネバーギブアップです。と思いきや、問(3)でこの公式使って変形してますが。。。

>問(3)最大値、最小値を求める。
>0≦x<πの時 y=cos^2x+sinx
>y=cos^2x+sinx
>=1-sin^2x+sinx (sinx=tとおき)
>=-t^2+t-1
>=-(t^2-t)-1
>=-(t-1/2)^2+5/4
>と最大値が5/4とはわかるのですが最小値はどうやって求めたらいいのでしょうか？与式に０orπを代入するのですか？

「0≦x<πの時」に「sinx=t」とおいたんですから、
0≦sinx≦1⇔0≦t≦1です。
ここまで出来れば、もうすぐですよね。

※アドバイス：f(t)の範囲を求めるときには、tの範囲も考慮するという考え方を身に付けておく必要があります。

>問(4)最大値、最小値を求める
>0≦x<π/2の時 y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x
>これは因数分解できないと思うのですが、どうすればいいのでしょう。-4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが（sin,cosどちらかにそろえること）

cos^2はcos^2xですか？
とりあえず、そういうこととします。

[1]cosxsinxに関しては、
sin2x=2sinxcosxという公式はありますが、

y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x
=cos^2-2sin2x-3sin^2x
=1-sin^2-2sin2x-3sin^2x
=-4sin^2x-2sin(2x)+1
=...

sinx,cosxのどちらにもそろえれませんでした。

[2]次に、
y=cos^2x-4cosxsinx-3sin^2x
=cos^2x-4cosxsinx-3sin^2x
=(cosx-(2-√7)sinx)(cosx-(2+√7)sinx)

ここで、y=0のとき
cosx=(2±√7)sinx
⇔cosx/sinx=2±√7
⇔sinx/cosx=1/(2±√7)
⇔tanx=(-2±√7)/3

やはり上手くいきませんでした。
問題文はあっていますか？

>どれか一つでもいいのでよろしくお願いします。

とりあえず、全問アドバイスしておきました。
答えは自力で出してみて下さい。