二等辺三角形であることの証明

質問

公立中学に通う2年生が学校から出された問題らしいのですが、
私には難しくて解説できませんでした。
ぜひ力をかしてください。

(1)平行四辺形ＡＢＣＤがあります。
(2)ＣＤの中点をＰとして、線分ＢＰを引きます。
(3)Ａから線分ＢＰに垂線を引き、ＢＰ上で交わった点をＱとします。
(4)線分ＱＤを引きます。

この状態から始めて、三角形ＡＱＤが二等辺三角形であることの証明はどうやるんでしょうか？
まだ円周角は習ってない状態です。

回答No.2

m770 · ベストアンサー

＃１です。やっぱ腐ってました。＃１はオンラインで書いたのでスミマセン。

1.ＡＢの中点をＲとして、補助線ＤＲを引き、ＡＱとの交点をＯとします。
2.線分ＤＲと線分ＢＰは平行なので、三角形ＡＢＱと三角形ＡＲＯは相似。
3.ＡＲ＝ＲＢなので、ＡＯ＝ＯＱ。角ＡＱＰ＝角ＡＯＤ（条件より直角）
4.よって三角形ＡＱＤにおいて、線分ＤＯは辺ＡＤ垂直二等分線だから、三角形ＡＱＤは（線分ＡＤと線分ＤＱが等しい）二等辺三角形である。

こうかな？

補足

たぶんですが、
中2で相似(中点連結定理など)はまだ習ってない可能性が高いです。
もしこれを使わないで解くとしたら、可能ですか？

回答No.7

babusan

相似や中点連結定理が使えたらものすごく楽なんですが、そうでない場合をやってみます。全然スマートじゃないと思います。すいません。

　ADをD側に延長した線とBPをP側に延長した線の交点をRとする。DからQR,AQに下ろした垂線の足をそれぞれS,Tとする。

　平行四辺形の性質より、AD=BC
　三角形PBC＜合同＞三角形BRD（二角挾辺相同）よりDR=CB
　∴AD=DR…(1)

　次に、三角形ADTと三角形DRSにおいて、
　TD＜平行＞QRより角ADT=角DRS
　AQ＜平行＞DSより角DAT=角RDS
　これに(1)を合わせ、二角挾辺相同により
　三角形ADT＜合同＞三角形DRS
　∴DT=RS
　四角形DTQSは長方形だから、DT=SQ
　よって、RS=SQ…(2)

　(2)を利用して、
　三角形DQS＜合同＞三角形DRS（二辺挾角相同）だから、
　DR=DQ…(3)

　(1)と(3)よりDA=DQ

　よって三角形AQDは二等辺三角形

お礼

スマートに解けないパターンの問題もあると思うので、助かります。ありがとうございました。
自分もbabusanさんのような考えを最初考えましたが、
ここまできっちり説明つかなかったので投稿させて頂きました(苦笑)
解き方のイメージは豊富な方がいいと思うので、ぜひ参考にさせていただきます。

回答No.6

NorthMole

ＡＢの中点Ｒに線分ＰＲを引きます
線分ＤＲを引き、ＡＱとの交点をＳとします。
ＢＰとＡＱは平行ですから、△ＡＢＱにおいて、ＡＳ＝ＳＱになります。
また、同様の理由により、∠ＡＳＤ＝９０になります。
以上により、△ＡＱＤは、その頂点Ｄから対する底辺ＡＱに対する垂線がＡＱを２等分することになるので、二等辺三角形です。
以上証明終わり

お礼

ありがとうございます。
やはり中点連結を使わずとも出来るんですね。

＞ＢＰとＡＱは平行ですから
※ＲＤとＡＱは平行、ということですよね！？
　ＢＰとＡＱだと、垂直なので…

回答No.5

rinri503

ＤよりＡＱに垂線ほを引きＡＢ，ＡＱとの交点をＲ，　　Ｓとする
　　　　　ＲＤ平行ＢＰだから　ＲＢＰＤは平行四辺形
　　　　　よって　ＲＢ＝ＤＰでＲしＡＢの中点
　　　　　中点連結定理よりＡＳ＝ＳＱ
　　　　ＡＳＤ≡ＱＳＤで　ＡＤ＝ＱＤ
　　　　でどうでしょうか
　　　　なお平成４年の教科書が手元にありますが
　　　平行四辺形、合同、相似、中点連結定理も２年で
　　　習うようですよ　今は１７年ですからね、わかりま　　　せんが

お礼

ありがとうございました。
※どうやら中点連結はまだ習ってない状況でした。

回答No.4

mac-san

No3の者です。すいません。亀レスでした。

そもそも中学2年で円周角って習ってません？
中学3年かもしれませんね。

その他となると、・・う～ん
１：２の相似なので、１：１の合同形で議論したらいかがでしょうか？

合同は中学2年で習ってます？

補足

合同は習ってますが、相似だたぶんまだですので、
相似以外で解く方法があるかどうか、思案しております。

回答No.3

mac-san

直径の円周角=90°が使えても解けますが、円周角がなしということで、No1さんの補足訂正となりますが解答します。

ABの中点をRとし、線分RDと線分AQの交点をSとします。四角形BRDPは平行四辺形（線分BR=線分PD かつBR・PDは平行）。
よって、二角相等より三角形ARS、三角形ABQが相似
で、相似比1：2となります。
つまりAS＝AQとなり、線分AQの垂直二等分線上に点Dがあることから、線分AD＝線分QD

お礼

わかりやすかったです、ありがとうございました。
今後も力を貸してくださいませ。

回答No.1

m770

３０年前は数学優秀中学生だった。今はタダのおじさんです。間違っていたらスミマセン。

1.ＡＢの中点をＲとして、補助線ＤＰを引き、ＡＱとの交点をＯとします。
2.線分ＤＰ’と線分ＢＰは平行なので、三角形ＡＢＱと三角形ＡＲＯは相似。
3.ＡＲ＝ＲＢなので、ＡＯ＝ＯＱ。角ＡＱＰ＝角ＡＯＤ（条件より直角）
4.よって三角形ＡＱＤにおいて、線分ＤＯは辺ＡＤ垂直二等分線だから、三角形ＡＱＤは（線分ＡＤと線分ＤＱが等しい）二等辺三角形である。

だめ？

補足

1.の補助線はＤＲの間違いですか？