針が倒れる時間

質問

高校か大学の物理で、針を机の上に垂直に立てて手を離してから倒れ終わるまでの時間を求める式を習ったような気がするのですが、何だったでしょうか。
昔のことなので、とっくに教科書や参考書を処分してしまい、何の分野だったかも忘れてしまいました。
今、学生あるいは先生で詳しい方、教えて頂けませんか。
当時、一生懸命に勉強したことでも、社会人になって使わなくなると忘れますね。かつて覚えたのに、何かもったいない気がします。

回答No.7

abyssinian · ベストアンサー

なんだかなあ‥
えーと、質問者さんとNO4さん、残念だけどこれは解析解が無いことで有名な問題なんです。

　針の端が支点で、針が垂直に下まで動けると考えれば、これは普通の振り子の問題で、ただ角度の初期値が180度近くから始まって、水平になるまでの時間を求めるだけの問題なんです。
普通、振り子の角度θは、まっすぐ下に垂れ下がった位置から計るのが普通です。
振り子のニュートンの運動方程式は、
(1)　d^2θ/dt^2 = -(g/L)sinθ
です。gは重力加速度。Lは重心と支点の距離。
定石に従って
(2)　g/L=ω^2
と置くと
(3)　d^2θ/dt^2＋ω^2sinθ= 0

θが小さく、線形近似
(4)　sinθ≒θ
が成立するならば
(5)　d^2θ/dt^2＋ω^2θ= 0
となり、これは簡単に解けて、解は単振動の
(6)　θ=Csinωt
です。Cは小さな初期値。サイン関数だから周期はωt=2πより
　τ=2π√(L/g)

しかし、設問はθが180度に近いので、sinθ≒θの近似は成り立たず、(1)は解析解を持たない、楕円積分なのです。（第一種楕円積分）。
そこで(1)式を、数学の本にある楕円積分の標準形にするためには、両辺にdθ/dtを掛ければ積分できて、
　(dθ/dt)^2 = 2ω^2cosθ+積分定数
積分定数を決めるために初期条件、θ=α、dθ/dt=0を上式に入れれば
　(dθ/dt)^2 = 2ω^2（cosθ-cosα）
となり、三角公式
　cosθ-cosα=2｛sin^2(α/2)-sin^2(θ/2)｝
によって、
(7)　dx/√(1-k^2sinx) = ωdt
となる。ここにk=sin(α/2)、x=θ/2です。左辺が数学の本にある形です。

積分区間は、初期値θ=α>90度から、針が水平(θ=90度)まで。本に数表が載ってますが、僕はBASICで書いて計算した記憶があります。
左辺の積分値をＫとすれば、右辺の積分はωtだから、
　水平までの時間t = Ｋ/ω= Ｋ√(L/g)
となります。

>当時、一生懸命に勉強したことでも、社会人になって使わなくなると忘れますね。かつて覚えたのに、何かもったいない気がします。

　解析解が無いのだから、忘れたのではなく、記憶に無いのが当然だとおもいますね。
僕はまだ社会人じゃないですけど、僕も未来でこの結果を使うことは無いのでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。

確か大学の物理学？の授業の演習問題に出た気がします。しかし、こんな複雑な解き方ではなかったような気が・・・。

Ｎｏ．６の回答も正しいように思えるのですが、どう違うのでしょうか。