四面体の高さとベクトル

質問

ベクトルの計算で間違いの理由がわからないので質問します。
【例】原点と3点A(1, 0, 0), B(1, 2, 3), C(0, 1, 2)を頂点とする四面体OABCの体積を求めよ。
【解法】原点から△ABCに下ろした垂線を→OHとします。
また→OA=(1, 0, 0),→OB=(1, 2, 3),→OC=(0, 1, 2)である。
(1)→OH(高さ)を(1-s-t)→OA+s→OB+t→OCとおく。
(2) →OH⊥→AB,→OH⊥→ACから内積0を使ってs, tの連立方程式をつくり, 解く。
(3) (2)から→OHを求め, |→OH|を求める。
で|→OH|=1/√14を求めています。
自分は、→OH=(x,y,z)とおいて、→OH⊥→AB,→OH⊥→AC,→OH⊥→BCから内積0を使ってx,y,z の連立方程式をつくり, 解く。という方針で解いたのですが、計算結果が(x,y,z)=(0,0,0)となってしまいました。
(-x+y+2z=0と2y+3z=0と-x-y-z=0の連立方程式でした。)どなたか自分の解き方の間違いを指摘してください。お願いします。(【解法】は読めば正しいと思えます、しかし自分の解き方の間違えの理由しらないと、また同じ間違いをすると思います。)
【解法】の続きでは、三角形ABCの面積を
1/2*√(|→AB|^2|→AC|^2-(→AB・→AC)^2)を使って、√14/2と計算し、
体積を1/6と求めていました。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

＞自分は、→OH=(x,y,z)とおいて、
＞→OH⊥→AB,→OH⊥→AC,→OH⊥→BCから

この部分ですが、垂直条件はそのうちの２つでよいです。
（→AB + →BC = →AC の関係式があるため）

＞(-x+y+2z=0と2y+3z=0と-x-y-z=0の連立方程式でした。)

この3個の式を連立させると
x : y : z = 1 : (-3) : 2
という比例式が得られます。そのため
(x,y,z) = (k,-3k,2k) （kは実数）
という解が得られます。
（上記のとおり、式は実質2個しかないため解は一意に定まりません）
このあと、点(x,y,z) が平面ABC上にあるという条件からkの値を求めることになります。
先の結果より、平面ABCに垂直なベクトルのひとつが (1,-3,2) とわかるので、平面ABCの方程式は
x - 3y + 2z = a (aは実数の定数)
の形になります。この式に点Aの座標を代入することで
a = 1
とわかり、
x - 3y + 2z = 1 に (x,y,z) = (k,-3k,2k)を代入し直すことで
k = 1/14
が得られ、垂線の長さ
√(k^2 + 9k^2 + 4k^2) = 1/√14
が得られます。

お礼

連立方程式から比例式を求めたり、平面の方程式を使ったり、いろいろ調べると勉強になりました。解説ありがとうございました。