ベクトル

質問

辺ABを底とする台形ABCDがAD＝DC＝CB＝1、AB＞1を満たしている、ACとBDの交点をP、→AD（ベクトルAD）＝→x、→DC＝→ｙ、→xと→ｙの内積を→x・→ｙ
(1)ABを→x・→ｙを用いて表せ
∠ADCのcosθ＝→x・→ｙ/l→xll→ｙl
AC＾2＝2-2・→x・→ｙ/l→xll→ｙlと考えましたが、この先がわかりません。
(2)→APを→x・→ｙ、→x、→ｙを用いて表せ
(3)→x・→ｙ＝√３/2のとき、三角形ABPの面積は？
(2)(3)もよくわからないのですが、よければアドバイスを頂きたいです。

回答No.1

yukimin387 · ベストアンサー

（１）
＞∠ADCのcosθ＝→x・→ｙ/l→xll→ｙl
違います。→xはＡからＤへ向いたベクトル、→ｙはＤからＣへ向いたベクトルです。
内積はベクトルの起点を合わせたときの角度のコサインで計算します。
→xと→ｙの作る角は∠ＤＡＢと同じなので、
cos∠ＤＡＢ＝→x・→ｙ/l→xll→ｙl
l→xl＝l→ｙl＝１なので、cos∠ＤＡＢ＝→x・→ｙ
台形ＡＢＣＤは等脚台形なので∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＡ
辺ＡＢ＝cos∠ＤＡＢ＋辺ＤＣ＋cos∠ＣＢＡ＝２（→x・→ｙ）＋１

（２）
→ｘ＋→ｙ＝→ＡＤ＋→ＤＣ＝→ＡＣ＝→ＡＰ＋→ＰＣ
三角形ＰＡＢと三角形ＰＣＢは相似なので、辺ＤＣ：辺ＡＢ＝辺ＰＡ：辺ＰＣ＝｛２（→x・→ｙ）＋１｝：１
→ＡＰ＝（｜ＡＰ｜／｜ＡＰ＋ＰＣ｜）×→ＡＣ
　　　＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＢ＋ＤＣ｜）×→ＡＣ
後は計算できますね。

（３）
→x・→ｙの値がわかったので辺ＡＢはわかります。
後はＰから辺ＡＢに下ろした垂線の長さ（三角形ＡＢＰの高さ）がわかれば面積はわかります。
先ほど同様、三角形ＰＡＢと三角形ＰＣＢは相似なので、三角形ＰＡＢの高さ：三角形ＰＣＢの高さ＝辺ＡＢ：辺ＤＣ
これから三角形ＡＢＰの高さが求まり面積も求められます。

お礼

ありがとうございます！わかりました！

回答No.2

kkkk2222

＞＞ありがとうございます！わかりました！
よくわかりましたね。

当方、計算途中でグチャグチャになりました。
難問ではないけど、嫌気のさす問題ですね。
オマケに後味までワルーイ。
ナゼナラ（条件AB＞1）をどこにも使ってない～～　

＞＞ありがとうございます！わかりました！
なにも、私の出番はないのですが、ヤケクソで。
vectorの表記が、矢印なので問題文だけで目が回るし、回答前に＃１様の回答読んで更に・・・
07/02/18　日付を見て、、、あれれ
で、計算結果は全く自信ないです。

vector（x）、vector（ｙ）も単に　ｘ、ｙ　と　表記
内積に括弧を付けるのは、ある理由で躊躇います。

まず、最初に意識すべきは（１）（２）では台形が確定してない事でしょう。
＃１様が全てお書きですので簡略に。

（１）線分ＡＢ＝２ｘ・ｙ＋１
（２）vector（ＡＰ）＝（（２ｘ・ｙ＋１）／（２ｘ・ｙ＋２））（ｘ＋ｙ）
（３）
台形の高さ＝１／２
台形の上底＝１
台形の下底＝１＋√３
△ＡＢＰの高さ＝（１／２）（１＋√３）／（２＋√３）
△ＡＢＰの面積＝（１／２）（１＋√３）【（１／２）（１＋√３）／（２＋√３）】＝１／２
んんん１／２　　？？？　　さっきの計算とまた違う
もし　　１／２　　が正解なら　　これが題意！！！
＃１　読んだから　やっぱ　書く事なかったです。
当方の回答意味は＜愚痴＞
ーーー

お礼

ご回答ありがとうございます！参考にさせていただきます。