数学における群論のテキストの一番最初

質問

ある集合が群である、というのは”2項演算があり、結合法則があり、単位元、逆元がある”、そして2項演算に可換法則が成り立つとアーベル群である、と書いてあります。群論の本の2ページ目ぐらいです。
さらに実数全体の集合に和という演算は上記すべてが成り立つので実数全体の集合はアーベル群である、ということです。
ここで、素朴な疑問ですが、”実数全体の集合は加法演算に対してアーベル群である”と書かれるとなるほどとなりますが、ある2項演算という制限をなくして実数全体がアーベル群であると言ってもいいのでしょうか。すなわち、何か１つの演算でもその性質を満たせばそういうものだ、ということになるのでしょうか。
”実数全体の集合がアーベル群である”と断定するとそれが後でどう影響していくのかを見ていくとわかるのかも知れませんが。
よろしくお願いします。

回答No.2

f272

> Rがある演算についてアーベル群ではない

アーベル群どころか群ですらない例はいくらでもあります。
例えばその演算として，必ず1つ目の引数を返すとか...

お礼

回答ありがとうございました。
今一度、問題となっている本を見返してみます。
しかし、本のほぼ冒頭部であり、但し書きとか限定とかの記述がないようです。

回答No.1

f272

実数全体の集合は加法演算に対してアーベル群である
と書かれているように，アーベル群であるかどうかは集合と二項演算を決めてから考えるものです。
ある2項演算という制限をなくして実数全体がアーベル群と言っているわけではありません。

お礼

回答ありがとうございます。
ご回答の内容は私が思っていたことと一致します。
ただ、私が見ている本には”実数全体の集合Rはアーベル群である。”という一文が独立的に表示されています。つまりその演算に対してという留保が一見ありません。実際はその留保があるということですね。
そのことを確認するためには例えば、”Rがある演算についてアーベル群ではない”、ということを示せるでしょうか。