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半群・・・

[問] Sは集合AからAへの全単射全体の集合とし、演算は通常の写像の積とする。 これは、群にらるか?また可換群になるか? ________________________________________ 群となるための3つの条件や、可換群の定義も理解してるのですが、 (分かったつもりかもしれませんが……) 集合AからAへの全単射・・・・・・→ 恒等写像? 演算は通常の写像の積とする。・・・→ ??? 結局分かりませんでした。 入門レベルで申し訳ないですが、よろしくお願いします。

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  • 回答No.3
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

f,g∈Sに対して、積fgは、(fg)(x)=f(g(x))で定義される写像。 ここに、x∈A これもAからAへの全単射であり、fg∈S これよって、Sには二項演算が定義される。 結合法則(fg)h=f(gh)(ここに、f,g,h∈S)が成り立つのは、 ((fg)h)(x)=(fg)(h(x))=f(g(h(x))) (f(gh))(x)=f((gh)(x))=f(g(h(x))) より良いでしょう。 単位元は恒等写像Iです。 つまり、(fI)(x)=f(I(x))=f(x)、(If)(x)=I(f(x))=f(x) より、fI=If fの逆元は逆写像f^(-1)です。 つまり、ff^(-1)=f^(-1)f=I よって、Sは写像の合成を積として群をなす。 しかし、一般に写像の合成は可換ではないので、Sは可換群ではない。 質問文を見ると、ほんの入り口にいるようなので、一応言うと、 全単射というのは、2つの集合の間でダブルことなく1対1の対応が つくような写像、恒等写像というのは、自分自身への写像(変換とも 言います)でどの元も動かさないような写像のことです。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2

>集合AからAへの全単射・・・・・・→ 恒等写像? (Aの元の個数が2個以上あれば、)恒等写像以外にもあります。 >演算は通常の写像の積とする。 おそらく、写像の合成のことかと思われます。 >群となるための3つの条件や、可換群の定義も理解してるのですが、 群や可換群の定義を理解しているのに解けないのならば、写像に関する性質(全単射、合成写像、逆写像など)についての理解が足らないのかもしれません。 写像に関して理解していて、群の定義などを理解できていれば、多分誰でも分かる問題かと思います。 まあ、問いに「演算は通常の写像の積とする。」書いたら、 「通常の写像の積」が「写像の合成」と解釈できない人は解けなくなってしまうので、すこしひどいような気がしますが…

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

「全単射」が恒等写像とは限らないのは自明. A = { 1, 2 } に対し f(1) = 2, f(2) = 1 で定義される写像 f: A → A は A 上の全単射だけど恒等写像ではない. で写像の積は「合成写像」のこと. こんなの調べればわかると思うけどね. さあ, あとは頑張れ. ちなみに答えだけいうと「可換ではない群」だ.

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