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半群の証明

こんばんは。来週にテストがあるため勉強をしているのですが、問題集に「次は半群となるかどうか調べよ」という以下のような3つの問いがありまして、解いてみたのですが正しいでしょうか?結合法則を満たすかどうか調べました。問1も問2,3と同じような解答ができましたら、そちらもお答えいただけると幸いです。 ご回答お願いいたします。 問1)S=負の数全体の集合、 a○b=ab (通常の積) 解答)a○bはSには属さないため、○はS上の二項演算ではない。    よって半群にはならない。 問2)S=N、 a○b=GCD(a、b) (a、bの最大公約数) 解答)GCD(GCD(a,b),c)=GCD(a,GCD(b,c))    GCD(GCD(a,b),c)   =GCD(GCD(b,c),a)   =GCD(a,GCD(b,c))    (a○b)○c=a○(b○c)    よって半群となる。 問3)S=R, a○b=min{a,b} (a、bのうちの小さい方) 解答)min{min{a,b},c}=min{a,min{c,b}}       min{min{a,b},c}   =min{min{b,c},a}   =min{a,min{c,b}    (a○b)○c=a○(b○c)    よって半群となる。

noname#146701
noname#146701

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問2、問3の解答は証明になってないと思う。 数式だけ書いて、論証は採点者任せですむのは高校生までです。

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ご回答ありがとうございました!参考にさせていただきます^^

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