数列の問題

質問

次の和を求めよ。(^n(2,3)はn(2,3)乗)
１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)

　という問題で、解答が
求める和をＳとおくと
　Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)　・・・※
　↓　xをかけて
　↓
　xＳ＝１x＋３x^2＋５x^3＋７x^4＋・・・・・(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾n
　(１－x)Ｓ＝１＋２x^2＋２x^3＋・・・・・＋２x^(n－1)－(２n－１)x＾n
　∴(１－x)Ｓ＝２＋２x^2＋２x^3＋・・・・・＋２x^(n－1)－(２n－１)x＾n－１　・・・※※(これは初項２、公比xの等比数列の和と気づこう！)

　よって、x≠１のとき　(１－x)Ｓ＝２(１－x^n)／(１－x)－(２n－１)x^n－１
　右辺を通分して整理し、さらにＳ＝・・・・・のかたちにすると
　(１－x)Ｓ＝{２(１－x^n)－(２n－１)x^n・(１－x)－(１－x)}／(１－x)　・・・※※※
　Ｓ＝{(２n－１)x^(n＋1)－(２n＋１)x^n＋x＋１}／(１－x)^2　・・・※※※※
また、x＝１のときは、※より
　Ｓ＝１＋３＋５＋７＋・・・・・＋(２n－１)＝n^2
　　(これは等差数列のn個の和！)

と書いてありますが、自力で理解できなくて困っています。特に最初の方の※※までの変形がさっぱりわかりません。どなたか詳しく教えてください！お願いします(>_<)

回答No.6

graduate_student · ベストアンサー

少し深呼吸をしましょう.
(1-x)S=2＋2x^2＋2x^3＋・・・・・＋2x^(n－1)-(2n-1)x^n
です.
ここまでいいですか？
そして，bmiyuzさんが気にかかっている2(1－x^n)/(1－x)は「2＋2x^2＋2x^3＋・・・・・＋2x^(n－1)」までを表しています.
ここまでいいですか？
つまり，
(1-x)S=2＋2x^2＋2x^3＋・・・・・＋2x^(n－1)-(2n-1)x^n
=2(1－x^n)/(1－x)-(2n-1)x^n
となります.
これでいいですか？

お礼

はい、理解できました！私が考え直したところは一応合っていたのだと思います。私の説明がわかりにくくてご迷惑をおかけしました(>_<)

これから何度も数学の質問をすると思うので、また答えていただける機会がありましたら、そのときはよろしくお願いしますm(__)m近くに聞ける人がいないので、本当に助かりました。何度も何度も補足にも答えてくださって、本当にありがとうございました！！

回答No.5

graduate_student

続きです.
「－(２n－１)x^n－１の部分はなぜ(２n－１)x^n－１という(１－x)Ｓの最後の項を引いている」
の部分です.
筆算で書いてみてください.
すぐにわかると思います.
xSの1番最後の項は→(2n-1)x^n
Sの1番最後の項は→(2n-1)x^(n-1)
ですね.
S-xSを計算すると，x^(n-1)まではSにもｘSにも両方存在しますが，(2n-1)x^nだけはｘSにのみ存在します.
つまり，0-(2n-1)x^n=-(2n-1)x^nという感じで，マイナスがつきます.

補足

すみません(>_<)説明不足でした。Ｓ－xＳを計算して-(2n-1)x^nが出るのはわかっていたのですが、勘違いをしていて、(１－x)Ｓ＝２(１－x^n)／(１－x)－(２n－１)x^n－１の２(１－x^n)／(１－x)の部分だけで(１－ｘ)Ｓが表しきれていると思っていました。２(１－x^n)／(１－x)はあくまでも(１－x)Ｓ＝２＋２x^2＋２x^3＋・・・・・＋２x^(n－1)を表しているだけだから、その後に－(２n－１)x＾n－１が必要である、こういうことで良いのでしょうか？

回答No.4

noname#17965

Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・＋(２n－１)x＾(n－1)　・・・式（１）

7x^3と(2n-1)x^(n-1)の間は・・・で省略されてますが、そこにも項がたくさんあります。7x^3の次の項は9x^4とすぐにわかりますね。では、最後の項(２n－１)x＾(n－1)のひとつ前はどんな項でしょうか？それはnをn-1に変えてやれば判ります。
(2(n-1)-1)x^((n-1)-1)=(2n-3)x^(n-2)です。問題文では省略されていただけです。

お礼

補足に書いたこと、理解できました！わかりやすく教えてくださって、近くに聞ける人がいないので、本当に助かりました。これからも数学の質問をすると思うので、また答えていただける機会がありましたら、よろしくお願いします！！本当にどうもありがとうございましたm(__)m！！

補足

わかりました！大体理解できて、練習問題の類題も含めて自分でもう一度やり直してみたら出来ました！ですが、もうひとつ疑問が・・・
　x≠１のとき　(１－x)Ｓ＝２(１－x^n)／(１－x)－(２n－１)x^n－１
の２(１－x^n)／(１－x)の部分は、等比数列の和の公式に当てはめていますが、－(２n－１)x^n－１の部分はなぜ(２n－１)x^n－１という(１－x)Ｓの最後の項を引いているのでしょうか？何度も申し訳ありませんが、よろしければお願いします。

回答No.3

graduate_student

Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)をもう少し細かく書いてみます.

Ｓ＝1＋3x＋5x^2＋７x^3＋9x^4+…+(2n-3)x^(n-2)＋(2n-1)x^(n-1)ですね？
上式の両辺にxを乗じてください.
ｘS=x+3x^2+5x^3+7x^4+9x^5+…(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^nになりますよね.

xの係数は2ずつ増加していき，指数は1ずつ増加していきます.

x^(n-1)にxを乗じるとx^nになります.

「回答の補足」に関する疑問はこの中にありましたか？

補足

わかりました！大体理解できて、練習問題の類題も含めて自分でもう一度やり直してみたら出来ました！ですが、もうひとつ疑問が・・・
　x≠１のとき　(１－x)Ｓ＝２(１－x^n)／(１－x)－(２n－１)x^n－１
の２(１－x^n)／(１－x)の部分は、等比数列の和の公式に当てはめていますが、－(２n－１)x^n－１の部分はなぜ(２n－１)x^n－１という(１－x)Ｓの最後の項を引いているのでしょうか？何度も申し訳ありませんが、よろしければお願いします。

回答No.2

noname#17965

おそらく式の変形の説明が不足しているから判り難いのだと思います。
Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・+(２ｎ-３）x^(n-2)＋(２n－１)x＾(n－1)　・・・式（１）
式（１）の両辺にｘをかけると、
ｘＳ＝ｘ＋３x^2＋５x^3＋７x^4＋・・・+(2n-3)x^(n-1)＋(２n－１)x＾n・・・式（２）

式（１）ー式（２）を計算すると
（1－x）Ｓ＝１+２ｘ^2＋２ｘ^3+・・・２x^(n-1)-(2n-1)x^n

「＾」というのはべき乗のことで、例えば2^3は「２の３乗」という意味です。

補足

早速お答えいただきありがとうございます。
どのように変形しているのかはわかりました！ですが、まだわからない点が・・・
　Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)
　の両辺にxをかけて
　xＳ＝１x＋３x^2＋５x^3＋７x^4＋・・・・・(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾n
　となるところで、(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾nというのはどうやって出せばいいのでしょうか？
　Ｓ＝のときの(２n－１)x＾(n－1)は、２n－１が、初項が１でxの係数が２ずつ増えている奇数ということを表していて、x＾(n－1)は、第２項の３から徐々にx、x^2となっていくのを表しているのだと思いますが(合っていますか？)、xＳ＝の(２n－１)x＾nは同じ要領で理解できても、(２n－３)x^(n－1)がいまいちわかりません。お手数をお掛けしますが教えてください(>_<)

回答No.1

graduate_student

まず，等差数列＆等比数列の数列はbmiyuzさんが示したような方法が有効です.
これは覚えておきましょう.
1,3,5,…だけ見ると等差数列，x^0(=1),x^1,x^2,x^3だけ見ると等比数列です.
(1)Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)　という数列があります.
(2)Sにxを乗じます.
つまり，xＳ＝１x＋３x^2＋５x^3＋７x^4＋・・・・・(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾n
となります.
(3)(1)-(2)を計算します.
すると，(１－x)Ｓ＝２＋２x^2＋２x^3＋・・・・・＋２x^(n－1)－(２n－１)x＾n－１　
が得られます.
これを，＋を省いて書き並べてみると2,2x^2,2X^3,2x^4となっていますね？
(1-x)Sは2,2x^2,2X^3,2x^4,…を全て足し合わせていますね？
つまり，「これは初項２、公比xの等比数列の和と気づこう！」というわけです.

最終的にはSを求めなくてはならないので，左辺の邪魔者(1-x)で両辺をわります.
しかし，x=1のとき，1-x=0となり，0では割れません.
だから，x=1とx≠1で場合わけをする必要があります.

補足

早速お答えいただきありがとうございます。
どのように変形しているのかはわかりました！ですが、まだわからない点が・・・
　Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)
　の両辺にxをかけて
　xＳ＝１x＋３x^2＋５x^3＋７x^4＋・・・・・(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾n
　となるところで、(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾nというのはどうやって出せばいいのでしょうか？
　Ｓ＝のときの(２n－１)x＾(n－1)は、２n－１が、初項が１でxの係数が２ずつ増えている奇数ということを表していて、x＾(n－1)は、第２項の３から徐々にx、x^2となっていくのを表しているのだと思いますが(合っていますか？)、xＳ＝の(２n－１)x＾nは同じ要領で理解できても、(２n－３)x^(n－1)がいまいちわかりません。お手数をお掛けしますが教えてください(>_<)