導体内における自由電子のブラウン運動の説明について

質問

今、導体内における自由電子のブラウン運動について勉強をしています。気体や液体のブラウン運動に関しては多くの説明があったのですが、導体に関しては（少なくとも私が）スッキリとする説明がありませんでした。そこで、皆さんのお力をお借りしたく質問しました。

ブラウン運動で色々と調べると、概ね以下のように書いてありました。
『ブラウン運動とは、気体や液体の分子が熱運動によって微粒子に衝突し，微粒子が不規則な運動をする現象である。』
これを読んで、分子は微粒子よりもとても小さく軽いが、熱運動による分子の勢いは非常に強いので、重い微粒子を動かすことが出来ると理解しました。
上記の説明をそのまま導体に当てはめると、自由電子は原子よりも圧倒的に軽いので、気体や液体の分子が自由電子で、微粒子が原子となります。つまり、原子がブラウン運動することになってしまいます。しかし、導体内での原子の位置は大きく変わることはありませんし、実際にブラウン運動するのは自由電子です。
そこで私は、以下のような説明を考えました。この説明は間違っていないでしょうか。どなたかご教授をお願い致します。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
室温下での導体内では、その熱によって自由電子は熱運動し（四方八方に勝手にランダムに動き）、導体を構成する原子は格子振動している（格子点を中心に振動する）。そのため、不規則に動き回ろうとする自由電子は格子振動している原子と衝突し、自由電子は不規則な動きをすることになり、その動きはブラウン運動となる。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

上記の説明は、導体に電圧を加えていない状況を想定しています。しかし、電圧を加えた場合でも、熱による自由電子の運動と格子振動はなくならないはずです。
電圧を加えた場合、自由電子は一方向に移動します。その移動途中に格子振動している原子があれば、衝突するはずです。しかし、電圧によって動く自由電子の速さは、熱による速さよりも圧倒的に遅いため、異なる形でその影響が出ると考えています。電圧による衝突は主に電気抵抗に、熱による衝突は主に熱雑音となるように考えています。この考えは、如何でしょうか？　間違っていますでしょうか？　こちらも合わせてご教授をお願い致します。

回答No.1

phosphole · ベストアンサー

無理に、もともとのブラウン運動にあてはめようとして、かえって変なことになってしまって苦しんでおられるように思います。
あなたも書いているとおり、原子と電子のどちらも熱運動することで、熱雑音が生じる、というだけです。

お礼

お返事、有難うございます。

> 無理に、もともとのブラウン運動にあてはめようとして、かえって変なことになって
> しまって苦しんでおられるように思います。

気体や液体での説明に基づいて考えようとしたのですが、ご指摘の通り、それだとスッキリとした説明にならなくて困っていたところです。

> あなたも書いているとおり、原子と電子のどちらも熱運動することで、熱雑音が生じる、
> というだけです。

ここを読んで、私の理解が間違っていないことが分かり、ホッとしました。
お忙しい中、コメントを下さり有難うござました。

補足

どの方の回答も、大変勉強になりました。改めてお礼を申し上げます。
花粉などを使ったブラウン運動の説明に無理に合わせなくても良いこと、私の理解の仕方が間違っていないことを、一番最初に示してくれたので、このコメントをベストアンサーにしたいと思います。

今回、ここで質問したことで、ブラウン運動（ランダムウォーク）とは、各ステップの変化（１つ１つの移動）の大きさや方向が、確率的にランダムに決定される運動（または、確率的でランダムな過程が、全体の動向を決定（支配）している運動）の総称であると考えられるようになりました。
導体に存在する多数の自由電子が熱によって小さく震え、たくさんの自由電子のその小さな動きをたくさん集めると熱雑音となり、それが良質な乱数として扱うことが出来て、中心極限定理でその分布が正規分布になり、さらに１つ１つの自由電子の動きをある程度まとまった時間で見ると、ブラウン運動（ランダムウォーク）のような振る舞いをしている。
導体の中の自由電子の動きは物理と統計で学ぶことや学んだことが、いっぱい詰まっているなぁっと、今回のことでつくづく感じました。もっと大学生のときに真面目に勉強しておけばよかったと思いました。
みなさま、有り難うございました。

回答No.4

veryyoung

ご提示のモデル通りの古典論に従い、
(1) 電子の熱運動エネルギ：(1/2) k T [J]、k:ボルツマン定数、T:絶対温度
を基にして、
(2) 抵抗器R[Ω]の短絡熱雑音電流： sqrt( 4 k T / R )　 [A/rootHz]
(3) あるいはその整合有能電力： k T　 [W/Hz]
を定量的に導く事が可能です。実際(1)と(3)式の対比は興味深いでしょう。雑音電流は、個々の電子揺動の集団平均として算出されます。一電子当たり運動エネルギの時間領域ゆらぎ量[J]が、バルクとしては白色スペクトルの周波数帯域当たり電力{W/Hz]で観測されます（様相は変化していますが[W/Hz]も[J]です）。

導出詳細は、例えば、下記の「4-3 熱ノイズ」にあります。

電子ノイズ (日本語) 単行本 – 1988/1/10
A. アンブロヂィ (著), 高木 相 (翻訳), 越後 宏 (翻訳)
出版社: 啓学出版 (1988/1/10)
ISBN-10: 4766505263

原書はおそらく
Electronic Noise (英語) ハードカバー – 1983/4/1
Andras Ambrozy(著)
出版社: McGraw-Hill College (1983/4/1)
ISBN-10: 0070011249

古本がいずれもAmazonで購入できるようです。

次に、外部から電流を供給した場合ですが、お察し通り「多くの場合」雑音の追加発生は観測されません。ただし電子回路設計者が余剰雑音に遭遇する事はあります。金属皮膜抵抗器も炭素皮膜抵抗器も熱雑音は同じです。しかしバイアス電流を増すにつれ、後者に限り不均質に由来するであろう明らかに大きな雑音が見られます。少しテーマから反れますが参考まで。

お礼

veryyoungさん、お忙しい中、コメント有難うございます。

> ご提示のモデル通りの古典論に従い、
> ：
> を定量的に導く事が可能です。

このコメントから、私の理解が間違っていないことが分かるので、このコメントは本当に有り難いです。また、本の紹介も有難うございます。図書館に行って、実際に読んでみたいと思います。
さて、既にいただいていたコメントを読んで色々と調べてみたところ、私の考えの元になっているのは、古典電子論（自由電子モデル）であることが分かってきました。古典電子論（自由電子モデル）では説明が出来ない現象があることも分かりましたが、多くの現象を理解する上でとても役立つというか実用的な理論であることも分かりました。一方で、固体の中に存在する電子を理解するのは、量子力学も必要ですし、非常に大変であることことも分かってきました。固体中の電子のことを勉強すればするほど、分からないことが出てきます。固体の中の電子を理解するって、本当に奥が深いなぁっと痛感しています。

回答No.3

phosphole

補足ですが、あなたのご質問のブラウン運動、というのは、古典的な意味ではなく、酔歩とかランダムウォークとか呼ばれるものと同じ意味だと思って構いません。なんらかの原因（あなたの質問だと熱運動）によって、ランダムな動きが起こる現象一般をさす意味で使われています。

お礼

再度のコメント有難うございます。phospholeさんがおっしゃる通り、私は質問の中ではブラウン運動をランダムウォークと同じ意味として使っています。

回答No.2

tetsumyi

不規則に動き回ろうとする自由電子という考え方自体が間違いです。
自由電子は金属内で雲のようになって存在していて、１つ１つの電子の運動を論じたり区別することさえ意味がありません。
原子核の周りを電子が回ってる、なんて考え方が古典的であって間違いの元になっています。

お礼

tetsumyiさん、コメント有難うございます。

> 不規則に動き回ろうとする自由電子という考え方自体が間違いです。
> 自由電子は金属内で雲のようになって存在していて、１つ１つの電子の運動を論じたり
> 区別することさえ意味がありません。原子核の周りを電子が回ってる、なんて考え方が
> 古典的であって間違いの元になっています。

そうなんですね。そうなると、導体内で自由電子がブラウン運動するという考え方そのものが不正確、または不適切ということになりそうですね。
実は、色々と調べていた際、『自由電子と原子が衝突する』と書いてある場合もあれば、『格子の熱振動により格子の周期性が乱れ、その乱れにより自由電子が散乱する』と書いてある場合もありました。しばらくは、その意味の違いが分かりませんでしたが、さらに調べていくうちに、衝突と言っている説明は古典論的で、散乱と言っている方の説明は量子論的だということが分かってきました。
原子や電子の動きをより深く理解するには量子力学が必要なのは知っていますので、導体内で起こっていることを理解するにも量子力学的に考える方が正しいように思います。ただ、私は量子力学の知識がほとんど無く、古典的な考え方の方がイメージしやすかったので、古典的な考え方を使ってなんとか導体内の自由電子がブラウン運動（ランダムウォーク）する仕組みを理解しようと思った次第です。
自由電子は金属内で雲のようになって存在していて、１つ１つの電子の運動を論じたり区別することさえ意味がないということですが、例えば、熱雑音の発生をどんなふうに考えたら良いでしょうか？　もしよろしければ、ご教授ください。