中学 数学の問題です。

質問

教えてください

（√7－√5）⁸（√7+√5）10-（√7-√5）10（√7+√5）⁸
＝（7-5）⁸（√7+√５）²-（7-5）⁸（√7-√5）²
とあるのですが、どうしてこうなるのか教えて下さい。
10は10乗のことです。変換できませんでした。

宜しくお願いします。

回答No.4

KEIS050162

√７－√５　を　ｘ
√７＋√５　を　ｙ
とかに置いてみると、
x^8・y^10 - x^10・y^8　になります。
（^10、^8　は、それぞれ10乗、８乗です）

これを変形すれば下記になります。
= (xy)^8・y^2 - (xy)^8・x^2
ここで、
xy = (√7-√5)(√7+√5)なので、
xy = 7 - 5　　となります。

このxy　と、x, y　を先の式に代入すれば、
= ( 7- 5)^8・(√7-√5) ^2- (7-5)^8・(√7+√5)^2
となります。

蛇足ですが、ここで代入せず、もう少し変形させた方が計算し易いですね。
= (xy)^8・y^2 - (xy)^8・x^2
= (xy)^8(y^2 - x^2)
= (xy)^8(y-x)(y+x)

xy = 7 - 5 = 2
y-x = 2√5
y+x = 2√7
ここで代入した方が簡単かも知れません。

回答No.3

asuncion

本当に中学校の問題ですか？
当方には高校レベルとしか思えないのですが…。

回答No.2

maiko04

１０乗を８乗と２乗に分け、
(a-b)(a+b)=(a²-b²)を使ってまとめる。

回答No.1

marukajiri

(√7-√5)^8・(√7+√5)^10-(√7-√5)^10・(√7+√5)^8
={(√7-√5)(√7+√5)}^8・(√7+√5)^2-{(√7-√5)(√7+√5)}^8・(√7-√5)^2
=(7-5)^8・(√7+√5)^2-(7-5)^8・(√7-√5)^2
=2^8・(7+2√35+5)-2^8・(7-2√35+5)
=256・(12+2√35)-256・(12-2√35)
=256・(12+2√35-12+2√35)
=256・4√35
=1024√35

数学の公式と指数計算がわかっていれば、簡単にできると思います。
質問の部分は「和と差の積は平方の差」の公式を使っています。
(a+b)(a-b)=a^2-b^2