ミクロ経済学の問題です。

質問

ミクロ経済学の問題です。
よろしければご教授ください。

(問題)
2財2消費者からなる経済を考える。2消費者の限界代替率が等しいとき、資源配分はパレート効率的である。その理由を説明しなさい。

問題を解いたのですが、間違いがあれば指摘してほしいです。

(解答)
2消費者の限界代替率が等しい時、各個人は与えられた財の価格のもとで予算制約を満たしながら自らの効用が最大になるように財を購入し、しかも、各財の需要と供給が一致している、つまり競争均衡になっている。よって厚生経済学の第一定理「全ての競争均衡はパレート最適」より、競争均衡はパレート最適である。よってこれが限界代替率が等しい時、パレート最適となる理由である。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

一番わかりやすい方法は、エッジワース・ボックスの図（お分かりですよね！）を描いてみる方法でしよう。ボックスの一番南西（左下）の点を消費者Aの原点、一番北東（右上）の点を消費者Bの原点として、消費者AとBの無差別曲線群を書き入れる。ボックスの横がX財の消費量、縦がY財の消費量を表わす。消費者AとBの無差別曲線が互いに接する点（無数にある）の任意の一つをとり、C点と呼ぼう。このC点で表わされる配分（AのX,Yの消費の組とBのX,Yの消費の組）はパレート効率的であることを示せ、と問題は述べている。これを背理法で証明しよう。いま、C点がパレート効率的でないとしよう、すると、C点を通る消費者Bの無差別曲線上の、いずれかの点（D点と呼ぼう）が消費者AにB点より高い効用を与えるはずだ（なぜ？）。しかし、D点を通る消費者Aの無差別曲線はC点を通る消費者Aの無差別曲線の下方にある（より南西方向にある、つまり消費者Aの原点に近い）、これは矛盾。よって、C点で示される配分はパレート効率的でなければならない。（以上のことをエッジワースの図を描いて確かめてください！）

厳密には、配分は、実行可能で、かつそれに対してパレート優越的配分が存在しないとき、パレート効率的（パレート最適ともいう）という。数学的にパレート効率的配分を求めるためには
max uA(xA,yA)
s.t.
uB(xB,yB)≧K
xA+xB=X
yA+yB=Y
を解く配分((xA,yA),(xB,yB))を求める。ただし、K,X,Yは定数。
したがって、ラグランジェ関数
L=uA(xA,yB)+λ[K-u(X-xA,Y-yA)]
とおき、xA,xB,λで偏微分して０とおけばよい。これらより、
MRSA=MRSB
を得る（確認されたい）。

ここで、明らかになったように、パレート効率的という概念は市場とは、したがって「競争均衡」とは独立の概念なのだ。私の議論には価格Px、Pyのような市場の変数はまったく登場しないでしょう！あなたの回答は「鶴亀算」を解けという小学生の問題にたいして「方程式」を用いて回答しようとするようなものだ。

お礼

ありがとうございます！