ゲーム理論の混合戦略の求め方

質問

混合戦略についての質問です。

a b
A 3,2 0,0
B 0,2 3,1
C 1,0 1,3

このゲームの混合戦略が分かりません。
解答には「A,B,Cをそれぞれ1/2,1/2,0の確率でとる
」という混合戦略が、純粋戦略Cを強く支配するとあるのですが、なぜこうなるのか分かりません。

どなたか分かる方、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

f272

実際に，A,B,Cをそれぞれ1/2,1/2,0の確率でとれば，そのときの期待利得は3/2になって，A,B,Cをそれぞれ0,0,1の確率でとる戦略の場合の期待利得1よりも大きくなります。したがって純粋戦略Cを強く支配すると言えます。もっと言えばA,B,Cをとる確率をそれぞれp,q,1-p-qとしたとき，p+q=1である戦略は純粋戦略Cを強く支配します。

プレイヤ1がA,B,Cをとる確率をそれぞれp,q,1-p-q，プレイヤ2がa,bをとる確率をそれぞれr,1-rとするとき，プレイヤ1の期待利得は
3pr+3q(1-r)+(1-p-q)r+(1-p-q)(1-r)=(3r-1)p+(2-3r)q+1
です。したがって
r>1/2のときは(3r-1)>(2-3r)だからp=1，q=0で期待利得が最大
r<1/2のときは(3r-1)<(2-3r)だからp=0，q=1で期待利得が最大
r=1/2のときは(3r-1)=(2-3r)だからp+q=1で期待利得が最大
となります。このときrに関わらずp+q=1は満たされています。
プレイヤ2の期待利得は
2pr+2qr+q(1-r)+3(1-p-q)(1-r)=(5p+4q-3)r+3-3p-2q
です。p+q=1のときは(5p+4q-3)>0ですからr=1で期待利得が最大
となります。
つまりプレイヤ1はp+q=1となる戦略をとり，するとプレイヤ2はr=1となる純粋戦略をとることになります。そうすればプレイヤ1はp=1，q=0となる戦略をとることになりますが，プレイヤ2はそれでもr=1となる純粋戦略をとります。最終的には戦力はAaで均衡することになるでしょう。