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三角形の辺の長さ
ある二等辺三角形があり、底辺の長さがｄ、頂角が45°だとします。 この三角形の斜辺の長さを知りたいのですが、どうすれば求まるのでしょうか？ 教えてください。
- denpanounabara
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普通 頂角というのは この場合２等辺に挟まれた 角のことを言いますから 1：1：√2 これは直角２等辺三角形のことですから 全く外れています。 頂角から垂線で二つに分けた図形を書いてみてください NO２さんの回答をお借りして sinア というのは 高さ÷斜辺 cosア というのは ｄ/2÷斜辺 これで 求まりませんか？
その他の回答 (7)
どの段階で引っかかったのかわかりませんが・・・ （(1)）三角関数表を使わずに、三角比の性質を利用して、 計算だけで求めようとしたが、分母が二重根号になって しまい、有理化ができなかった、ということなら、 まず、斜辺の２乗を求めます。 この分母は有理化できます。 そのあとで斜辺を求めれば、分母は有理化できます。 ただし、分子の二重根号ははずれません。 （(2)）上の段階に行く前につまづいた場合 三平方の定理を利用する方法と、三角比を利用する方法が考えられます。 (1)三平方の定理を利用する場合 三角形ABCにおいて、角A＝４５度、AB＝AC＝x、BC＝d、 BからACに引いた垂線の足をHとします。 三角形AHBは角H＝９０度の直角二等辺三角形だから、 AH＝BH＝（１/ルート２）x CH＝xー（１/ルート２）x ここで、直角三角形BHCに三平方の定理を当てはめる。 (2)三角比を利用する場合 上の三角形ABCで、AからBCに引いた垂線の足をHとする。 直角三角形AHBで、三角比の定義から、 sin（角BAH）＝ BH/AB だから sin（45°/２）＝（d/２）/ｘ この考え方が一番単純だろうと思いますが、三角関数表を 利用しない場合は、（(1)）で書いたように、計算の途中で 分母に二重根号が出てきます。 こんなものでいかがでしょうか？
お礼
簡潔にまとめていただきありがとうございました。結構いろんな方法があるんですね。
#3ですけれど、一部間違った説明していましたので訂正します。 ＞二等辺三角形は、一つの角が90度で、２つの辺の長さが同じと言う条件があるときに出来る三角形です。 上の説明間違っていました。 これは、「直角二等辺三角形」の時に成立する話でした。 改めて、 二等辺三角形は、一つの辺に接する相対する角が同じ角度の時に、２つの辺の長さが同じ三角形の事でした。 三角形の内角の全部を足すと、180度になるので、１つの内角の大きさ（頂角）が45度とわかっています。 ですから、まずは、残りの三角形の内角の大きさを出してください。 式としては 180（三角形の内角の総和）－45（頂角）＝135（残りの三角形の内角） 二等辺三角形として成り立つのには、一つの辺に接する内角が同じ大きさにならないと、成り立たないので、 頂角と同じ大きさか、別の内角の大きさと同じにならないと、二等辺三角形は出来ません。 と言うことは、頂角＝もう一つの内角であれば、二等辺三角形が成立するするのですから、 残りの内角の大きさが、計算で出ます。 では、そのときに出来た二等辺三角形が、#1の方の説明にあった「三平方の定理」が成立するかを、証明すると答えが出ます。
- tacky-express
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これは「第1余弦定理」を使えば良いんじゃないでしょうか？ 三角形の各辺をa,b,cとし、それと向かい合う角をA,B,Cとします。 ここで以下が成立です。 C=a*cosB+b*cosA この簡単な証明は図形を考えて、点cから辺ABに垂線を下ろせばすぐわかりますね。 この問題では、角BとAが同じであり、三角関数半角公式を使えば判ると思います。
お礼
第1余弦定理なんてのもありましたね。全く度忘れしていました。ありがとうございます。
- kony0
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2重根号が扱えれば、三角関数なしでも解けます。 頂点A、底辺BCとします。 線分AC上に、∠ABD＝45度となる点Dをとります。 線分BD上に、∠DCE＝45度となる点Eをとります。 直角二等辺三角形が２つできていることに注目して、△BCDで三平方の定理を適用すると・・・
お礼
無事に解決できました。ありがとうございます。
三角形の辺の長さを求める公式は 直角三角形の場合には1：2：√3で、二等辺三角形だと、1：1：√2の比率になっています。 また、三角形の内角の総和が180度でしょ。 一つの角が、45度であれば、残りは、135度です。 二等辺三角形は、一つの角が90度で、２つの辺の長さが同じと言う条件があるときに出来る三角形です。 残り135度から90度（直角）を引くと、45度です。 これらが成立しているのであれば、底辺の長さ（d）と 垂直の線の長さも、同じです。 それから、考えてみてください。
お礼
無事に解決しました。ありがとうございました。
- kurobe3463
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頂角45°ならば底角は＿＿ア＿＿ 正弦定理により d÷sin45°＝斜辺÷sinア よって斜辺＝d sinア÷sin45°
お礼
正弦定理ですね！すっかり度忘れしていました。これだと一発ででます。ありがとうございます。
- shinkun0114
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頂角が45°の二等辺三角形は、直角二等辺三角形ですよね。 三平方の定理が使えるはずですよ。
お礼
すみません。問題の書き方がおかしかったですね。角度が45度、67.5度、67.5度の二等辺三角形です。直角二等辺三角形ではありません。
お礼
確かに「cosア = 斜辺÷ｄ/2」というのを使えばあっという間に求まりますね。なぜにきずかなかったんだろう…。ありがとうございます。