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直角三角形以外の三角形の辺の長さ

現在中学生ですが、三平方の定理を学校で習いました。直角三角形以外での求め方はないのだろうかと、いろいろ考えてみましたが、ぜんぜん分かりません。高校で習うのかもしれませんが・・・・。二等辺三角形の場合だけとか、そういった限られた場合でもいいので、そういう辺の長さを求める定理があるならば教えてください。 ついでに・・。今いろいろやって、二等辺三角形の辺の長さを求めるのをやってたら、 底辺以外の辺の長さをxとした場合、それぞれ頂角が30°,120°なら、底辺の長さが x(√2+√6)/2, x√3になったんですけどあってますか?

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1
  • shinopo
  • ベストアンサー率24% (26/105)

三角形の辺や角度を求めるものに、 正弦定理と余弦定理というものがあります。(URL参照) 高校生になったら普通に習うと思います。 正弦定理:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/seigen/seigen.htm 余弦定理:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/yogen/yogen.htm

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質問者からのお礼

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その他の回答 (6)

  • 回答No.7
  • tarame
  • ベストアンサー率33% (67/198)

直角三角形以外でも求められる三角形は、 頂角の1つが30°45°60°120°135°150°の場合ならなんとかなります。 (高校で習う正弦定理・余弦定理でも、出題される問題は上記の角の場合です) さて、その場合の求め方なのですが その頂角以外の頂点から対辺に垂線を引いて、2つの直角三角形を作りましょう。 30°60°90°の直角三角形なら、1:√3:2 45°45°90°の直角三角形なら、1:1:√2 の比や 三平方の定理を使って求められるはずです。 例えば、三角形ABCにおいて、 ∠A=60°,辺AB=x,AC=yの場合を考えてみましょう。 頂点Bから対辺ACに垂線を引いて、ACとの交点をHとします。 直角三角形ABHに注目すると AB:AH:BH=2:1:√3 だから AH=x/2,BH=(√3/2)x となります。 次に、直角三角形BCHに注目すると 三平方の定理により、 BC^2={(√3/2)x}^2+(y-x/2)^2 だから BC=√(x^2+y^2-xy) として求められることになります。

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  • 回答No.6
  • mammat
  • ベストアンサー率37% (19/51)

正弦、余弦定理を使わなくても簡単にもとまりますよ。 高校受験なんかで出題された場合。まず、頂点から底辺に垂直になるように線を引きます。2つの直角三角形ができますね、むしろ、できるように頂点を選んでください。そしたら、1つの直角三角形の長辺ともう1つのそれの比は、底辺の比と等しくなります。これは、中学数学の定理ですよ。これから、求められます。

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  • 回答No.5
  • 5e777
  • ベストアンサー率25% (6/24)

ごめんなさい。勘違いでしたm( _ _ )m 答えは(√3-1)x/√2=(√6-√2)x/2ですね。。。 自分は余弦定理を使って解いたんですが、 どーも底辺の1/2の値を出してしまっていたようです。

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  • 回答No.4
  • hekico
  • ベストアンサー率0% (0/1)

数学と離れて時間が経ってますので、自信はないので、間違ってたらごめんなさい。 三平方の定理は、直角三角形しか適用できませんね。その三平方の定理を拡張(?)した定理が余弦定理です。この定理は中学では習わないかと思います。高校に行けば、三角比という分野があり、そこで直角三角形以外の三角形を扱います。余弦定理は以下のURLにて。 http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/yogen1/yogen1.html この中のcosAと言う部分が0であれば、三平方の定理になります。 三角比については、以下のURLにて。 http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page32.htm 後半の質問ですが、頂角30°、120°、二辺xの二等辺三角形の底辺の長さは、前者x(√6-√2)/2,後者は正解でx√3だ思います。KRASUさんの計算結果で行きますと、(√2+√6)/2は√3より大きいので、頂角の小さい30°の方が底辺が大きくなってます。これは、明らかにおかしい結果ですね。数学は、計算して答えが出ることより、その答えを分析・考察することが大切だと私は思います(個人的な考えですけど)。KRASUさんは、学校で習っていないものにまで興味を持って質問していますが、これは大変関心出来ることですね。私は、中学生時代は勉強よりクラブ・遊びばかりで、よく怒られていました(笑)

参考URL:
http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/yogen1/yogen1.html

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質問者からの補足

√6+√2になってたのはこっちのミスみたいです。すいません。

  • 回答No.3
  • 5e777
  • ベストアンサー率25% (6/24)

計算したんですが、頂角が120°のときは√3xで合ってます。 30°のときは(√3-1)x/2√2=(√6-√2)x/4になりました。 ルートを有理化したときに分母に√2をかけるのを忘れてなかったですか??

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質問者からの補足

√6+√2になってたのはこちらのミスみたいです。でも分母が4にはならないんですけど・・・。もともと分母が√2になってるんですけど・・・。ちなみに使った求め方は、頂角を中心として半径xの円を書いて、そこに中心角60度のおうぎ形。それで、それの角を二等分し、後は3平方の定理の連続で・・・・みたいな感じでやったんですけど・・・。

  • 回答No.2

今、後者の方解いてみましたが、それで合ってますよ!! 前者は、、6√2/(√3-1)x  になりました、、 ちなみに正弦余弦は使っていません。 2つの頂角75°を30と45にわけて、二等辺三角形を3つ作りました。 また後で解いてみますが。 中学校では、30、60、45、90しか習いませんから、そんなに心配しなくても大丈夫。 正弦余弦は、高2で習うことになると思いますよ!!

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質問者からの補足

間違ってました?後で計算してみます。あと、いろいろ聞いちゃって悪いんですが、先ほどのに加えて、ある三角形の底辺の長さをyとした場合、頂角がその半分の三角形の底辺の長さは (√(x+y/2) - √(x-y/2))√xになる・・・っていうふうに計算で出たんですけど、これはあってますか?NO.1の方が教えてくれたHPをみてやればいいんですけど、ちょっとまだ難しすぎるんで・・・・。

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