∫b/(log(x)-a)dx＝？

質問

はじめて質問します。
以下の問題が解けないで困ってます。助けてください！
∫b/(log(x)-a)dx
ただし、a,bは定数。log(x)は自然対数。
対数積分関数の
∫1/log(x)dx=log(log(x))+(log(x))/1×1!+(log(x))^2/2×2!+(log(x))^3/3×3!＋・・・
に似ているのですが、微妙に違うので解けません。
近似式でも良いのでどなたか教えてください。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

∫b/(logx-a)dx=b∫1/(log(x/e^a))dx
と変形して、t=x/e^aで置換すると、
∫b/(logx-a)dx=(b*e^a)∫1/log(t)dt=
となるので、

＞∫1/log(x)dx=log(log(x))+(log(x))/1×1!+(log(x))^2/2×2!+(log(x))^3/3×3!＋・・・

が使えたりしませんか？

もっとも、私には、∫1/logx dx=…の式が正しいのかすら分からないのですが…

間違ってたら、すいません。

お礼

な、なるほど！
∫b/(logx-a)dx=b∫1/(log(x/e^a))dx
と変形すれば良いのですね。
目からウロコが落ちました。
私では１００年経っても思いつけない方法です。
これで何とか、仕事が前向いて進みそうです。
本当に、本当に、ありがとうございました。

蛇足ですが、対数積分関数の記載に若干の誤りがありましたので訂正しておきます。
∫1/log(x)dx=log(log(x))+(log(x))/(1×1!)+(log(x))^2/(2×2!)+(log(x))^3/(3×3!)＋・・・

回答No.1

bilateraria165

log(x)=t
とおいて置換積分
∫b/(log(x)-a)dx=∫{b/(t-a)}e^tdt
そしたら部分積分が適用できるでしょう。

補足

∫{b/(t-a)}e^tdtの部分積分をやってみたのですが、

b｛log(t-a)｝e^t-b∫｛log(t-a)｝e^tdt

となり、この先はどうすれば良いのでしょう？
部分積分を続けても、e^tもしくはlog(t-a)を置換積分しても行き詰まってしまいました。
私の計算がおかしいのでしょうか・・・