微分方程式 xy"-y=0 の解の基底

質問

今年（2018年）で52歳になる、数学が趣味の会社員です。
　ISBN4-563-00561-4「技術者のための高等数学－１　常微分方程式　原書第５版」
（現在、市販されている原書第８版より一つ古い版）の 164頁に載っている 8番
下記の問題がどうしても解けません。

次の微分方程式の解の基底を求めよ。プロベニウスの方法により得られた級数が
よく知られた関数の展開であることを確かめよ。
8. xy"-y=0

　基底の一つは、
y1=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)]
までは分かったのですが、もう一つの基底、

y2=k*y1*log(x)+(x^r2)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]
が計算できません。

　y1を求めるまでの過程ですが、下記のとおりです。

x*y"-y=0 … (1)

　解はy=(x^r)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]の形になるので、
y=(x^r)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]=Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+r)]
y'=Σ(m=0～∞)[(m+r)*Cm*x^(m+r-1)]
y"=Σ(m=0～∞)[(m+r)*(m+r-1)*Cm*x^(m+r-2)]

　これらを(1)に代入すると、
x*y"-y
=Σ(m=0～∞)[(m+r)*(m+r-1)*Cm*x^(m+r-1)]
-Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+r)]=0 … (2)

　x^(r-1)の係数の和を0とおくと、
r*(r-1)*c0=0
　C0<>0なので、
r*(r-1)=0
r=r1,r2 r1=1, r2=0

　r=r1=1 のとき

(2)にr=r1=1を代入すると、
Σ(m=0～∞)[(m+1)*m*Cm*x^m]-Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+1)]=0 … (3)

　x^sの係数の和を0とおくと、
(s+2)*(s+1)*c[s+1]-Cs=0 （c[s+1]はcの右下に小さく「s+1」です）
c[s+1]=Cs/((s+1)*(s+2)) … (3)

　(3)でs=0のときは
c1=c0/2=c0/2!

　(3)でs=1のときは
c2=c1/(2*3)=c0/(2!*3!)

　(3)でs=2のときは
c3=c2/(3*4)=c0/(3!*4!)

　y1は
y1=(x^r1)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]
なので、
y1=(x^1)*Σ(m=0～∞)[(c0*x^m)/((m-1)!*m!)]
=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)]

　ここで力尽きました。
　「よく知られた関数の展開であることを確かめよ。」とあるので、そもそも
この級数が初等関数の組み合わせになるのでしょうか ?

　y1が正しいかどうかを検算した結果は、以下のとおりです。
y1=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)]
y1'=c0*Σ(m=1～∞)[m*x^(m-1)/((m-1)!*m!)]
=c0*Σ(m=1～∞)[x^(m-1)/((m-1)!^2)]
y1"=c0*Σ(m=2～∞)[(m-1)*x^(m-2)/((m-1)!^2)]
=c0*Σ(m=2～∞)[x^(m-2)/((m-2)!*(m-1)!]
=c0*Σ(m=1～∞)[x^(m-1)/((m-1)!*m!] = y1/x
x*y1-y1=x*y1/x-y1=0

　0になるので正しいと思います。

　前出の「技術者のための高等数学－１　常微分方程式　原書第５版」の全問題
完全制覇を目指して 2年ぐらい前から独学で勉強しています。
　4章に入って内容が難しくなって、私の力ではそろそろ限界かもと感じるように
なりました。

　本には解き方はおろか、模範解答もありません。
　周りに聞ける人もいません。数学が得意な方、どうかご教示をお願いします。

回答No.2

kiyos06

0)xd^2y/dx^2 -y =0

1)x =at^nとする。
1.1)at^n /(ant^(n-1)) d(1/(ant^(n-1)) dy/dt)/dt -y =0
2)1/(an^2) ( t^(2-n) d^2y/dt^2 +(1-n)t^(1-n) dy/dt ) -y =0
3)2 -n =0, an^2 =1となるn, aを選ぶ。n =2, a =1/4
3.1)d^2y/dt^2 -1/t dy/dt -y =0

4)y =t^m zとする。
4.1)t^m d^2z/dt^2 +2mt^(m-1) dz/dt +m(m-1) t^(m-2) z
-t^(m-1) dz/dt -mt^(m-2) z
-t^m z =0
5)2m -1 =1となるmを選ぶ。m =1
5.1)t^2 d^2z/dt^2 +tdz/dt -(t^2 +1)z =0

6)z =C1 J1(it) +C2 Y1(it)
6.1)J1,Y1:1次の第1種・第2種複素ベッセル関数(変形ベッセル関数でも可)

7)y =2sqrt(x) ( C1 J1(2isqrt(x)) +C2 Y1(2isqrt(x)) )

8)ベッセル関数が「よく知られた関数」かどうかは?

10)こっちの方が良いかも
10.1) d^2y/dx^2 +2/x dy/dx +y =0
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13143634498/a355193662

11)Others(難しい微分方程式解法集)

お礼

回答ありがとうございます。

　教えていただいた内容を理解するには、まず、ベッセル関数から勉強しなければいけないようですね。

　勉強している本は、もう少し進むとベッセル関数が出てきます。
　教えていただいた内容をどうしても理解できなかったら、ベッセル関数を勉強してからもう一度見直してみようと思います。

　ありがとうございました。

回答No.1

noname#232123

y1=c[0]*Σ[n=1~∞]x^n/{n*((n-1)!)^2}. となりました。
y2 については、
y2=y1*ln(x)+u(x), ただし、u(x)=Σ[n=0~∞]b[n]*x^n, ....(*)
として計算してみます(時間がかかりそうなのでひとまずここまでをＵＰします)。
方針としては(*)を原式に代入して、y1" - y1/x=0 を使うことでしょうか。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

　y1は変形すると私の解答と同じになるようですね。
　y2は sesame131 さんの同じように求めようとしたのですが、あまりにも計算が難しくなってしまい、解答を求める方向性が間違っているのではないかと思うようになりました。

　この問題（8番）が載っている頁の1～7番と9番は解答が初等関数の組み合わせになっていたので、この問題だけ何で解答が初等関数の組み合わせにならないのだろうと思っていました。

　誤植の可能性も否定はできませんが、誤植はないものとして私ももう一度y2を計算してみます。