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期待値Eの式変形がわかりません
REX_IUDAEORUMの回答
- REX_IUDAEORUM
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宮川公男『基本統計学[第3版]』に割と詳しい説明が載っています(p. 132)。 σ^2 = E [ (x - μ)^2 ] →σ^2は「分散」、μは「平均」 = E [ x^2 - 2μx + μ^2 ] = E (x^2) - E(2μx) + E(μ^2) E [ c * u(x) ] = c * E [ u(x) ]、 E [ u(x) + v(x) ] = E [ u(x) + E v(x) ](u(x) 、 v(x)は確率関数、cは定数) なので、 = E (x^2) - 2μ * E(x) + μ^2 E (c) = c(つまり、E (μ) = μ)、 E [ c * u(x) ] = c * E [ u(x) ]なので、 = E (x^2) -2μμ + μ^2 = E (x^2) -2μ^2 + μ^2 = E (x^2) - μ^2 E (x) = μ(期待値=平均値)なので、μ^2 = [ E (x) ]^2 σ^2 = E (x^2) - [ E (x) ]^2 となる。すなわち、「分散」は「2乗の期待値(=2乗の平均値)」から「期待値の2乗(=平均値の2乗)」を「引いた値に等しい」ということができる。 --- 確率密度関数が与えられたとき、「期待値」(E (x))「2乗の期待値」(E (x^2))も積分計算で簡単に求められます。そうすると、分散は上記の性質を使えば、単純に、E (x^2) - [ E (x) ] ^2を計算すれば得られるということになります。そのための式変形です。例題などを使って、実際にそうなるかどうか、確認してみてくださいね。 ご参考になりましたら幸いです。
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