数学：式の変形

質問

立て続けに質問させていただきます。

左辺から右辺の式変形を教えていただきたいです。

(x^2-2x-2) / { (x-1)(x^2+x+1) } = (2x+1) / (x^2+x+1) - 1 / (x-1)

よろしくお願いいたします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.1に一票、かな。
　一般に、c/(ab) を A/a + B/b の形にしようと思ったら、とりあえず完成形の式
　　c/(ab) = A/a + B/b
を書きます。これは恒等式ですね。右辺を通分すると、
　　c/(ab) = (bA + aB)/(ab)
ということは、恒等式
　　c = bA + aB
が成り立つ。で、この恒等式を満たすようなA,Bを探すんです。

　これは「部分分数分解」という定石の計算技法だと思っておくのが良いと思います。a, b, cの具体的な形に応じて計算方法を工夫するのも結構ではありますが、しかしこんなツマラン作業は機械的にやっちまう方が良いですよ。

　ご質問の場合、恒等式 c = bA + aB は
　　x^2-2x-2 = (x-1)A+(x^2+x+1)B
となる訳ですが、A,Bはxの多項式であってもいいので、一度
　　x^2-2x-2 = (x-1)A(x)+(x^2+x+1)B(x)
と書いてみた方がわかりやすいでしょうかね。
　さて、左辺の最高次数は2である。ということは、Bは定数であるはずだし、Aは高々１次の多項式でなくちゃいけません。そこでA(x)=ax+bと書く事にして
　　x^2-2x-2 = (x-1)(ax+b)+(x^2+x+1)B
整理しますと
　　(a+B-1)(x^2)+(B+b-a+2)x+(B-b+2)=0
これが恒等式だ（つまりxによらず成り立つ）というのだから、x^2, xの係数と定数項は全部0でなくちゃいけない。すなわち、
　　a+B-1=0
　　B+b-a+2=0
　　B-b+2=0
を全部満たすようなa, b, Bを見つければ良い。つまり三元連立一次方程式を解く。というのがANo.1ですね。

回答No.3

alice_44

計算術ではなく、考えかた：
(x^2-2x-2)/(x^2+x+1) を x=1 中心にテイラー展開した後、両辺を (x-1) で割れば、
(x^2-2x-2)/{ (x-1)(x^2+x+1) } = (定数)/(x-1) + { x=1 で正則な関数のべき級数表示 }
という形になりますね。この式の (定数) が判ったら、
(x^2-2x-2)/{ (x-1)(x^2+x+1) } - (定数)/(x-1) = … と移項して、
左辺の分数式を整理すれば、{ x の多項式 }/(x^2+x+1) の部分も求まります。

回答No.2

info22_

A#1とは別の解き方

分母(x-1)の項「a/(x-1)」の分子a
a=(x^2-2x-2)/(x^2+x+1)|(x=1)
=(1-2-2)/(1+1+1)=-1

分母(x^2+x+1)の項
=(x^2-2x-2)/{(x-1)(x^2+x+1)} - a/(x-1)
通分して
={(x^2-2x-2)-a(x^2+x+1)}/{(x-1)(x^2+x+1)}
a=-1を代入
={(x^2-2x-2)+(x^2+x+1)}/{(x-1)(x^2+x+1)}
=(2x^2-x-1)/{(x-1)(x^2+x+1)}
=(x-1)(2x+1)/{(x-1)(x^2+x+1)}
(x-1)で約分
=(2x+1)/(x^2+x+1)

∴左辺=(2x+1)/(x^2+x+1) -1/(x-1)

回答No.1

ferien

左辺＝（Ａｘ＋Ｂ）／（x^2+x+1）　＋Ｃ／(x-1)　とおきます。このＡ、Ｂ、Ｃに当てはまる数値を求めます。

これを通分すると、分子は（Ａｘ＋Ｂ）(x-1)＋Ｃ（x^2+x+1）

これを計算して整理すると、

（Ａ＋Ｃ）ｘ＾2＋（－Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｘ－Ｂ＋Ｃ　左辺の分子の係数と比較して

Ａ＋Ｃ＝１
－Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝－２
－Ｂ＋Ｃ＝－２　　　とおきます。この連立方程式を解くと、Ａ＝２、Ｂ＝１、Ｃ＝－１

これを、先ほどの式に代入すると、右辺の式が得られます。