変形

質問

数学的帰納法による証明問題の解答の一部に次のような式がありました。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2のk乗)*1*3*5・・・・・・(2k-1)
(k+2)(k+3)*・・・・・(2k)(2k+1)(2k+2)=────────────────*(2k+1)(2k+2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k+1

左辺から右辺への変形の仕方がわかりません。。
宜しければ変形法のご回答お願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

(2k+1)(2k+2)は共通してるからちょっと無視してます。

分母と分子に1*2*3*・・*k(k+1)をかけると
(k+2)(k+3)・・・・・(2k)
={1*2*3*・・*k(k+1)(k+2)(k+3)・・(2k)}/{1*2*3*・・*k(k+1)}

分子の2*4*6*・・・・*2kという偶数番目は項の数がｋ個
なので、共通因数２を出し、2^k(1*2*3*・・*k)とできます。
すると、(1*2*3*・・*k)は分母と約分され、分子には奇数
番目の数と2^kが残り、分母には(k+1)が残ります。

∴(k+2)(k+3)・・・(2k)=2^k{1*3*5*・・*(2k-1)}/(k+1)

お礼

回答有難うございます。
また疑問点が出たら質問させてもらうかもしれませんが、解決しました。